CHAPITRE 1. — DES COUUBES CONJUGUÉES, ETC
Fariations première et seconde d'une lancent e t par rapport à ds. — Soient (^^. 82 6/5) MM', M' M'' deux éléments c on
Fijî. 3i bis.
séciilifs de la courbe s; NN', N'N'^ deux éléments correspondants de la courbe o-; JM, J'M' Jes positions consécutives de la tangente t ; NO le rayon de courbure Si de la courbe a, et r la ligne qui joint le point M avec l'extrémité de .R, on a les deux relations
(2) dt = dscostds ~ du, tde = ds s'intds; {n)
la première donne, en ayant égard à la seconde et à l'équation naturelle de la courbe a
ds
t cos tds — Si s'in tds
in)
Cette dernière relation provient de ce que, dans le triangle dont les côtés sont t, r, si, la projection du côté rsur ds est égale à la somme des projections des deux autres côtés sur cet élément.
Convenons que, lorsqu'une droite t prend une position infiniment voisine, nous la représentons par la même lettre ac-
/^ centuée /'; il est évident que la variation d'un angle tr est
égale à la somme des déviations des côtés; d'après cela, on aura les équations, en ayant égard aux signes,
(4) d(r,ds)=(ds,(h')-[r,r'), d{t, r)=.[t, t')-{r, r'). [n)
Or, si l'on projette le périmètre de la figure MIM'0'0 d'abord sur r et ensuite sur une perpendiculaire à r, on obtient les deux équations
\ dr=:^ dscosrâ^-^ d^smrt, \
\ r s'in rr' =: dss{n{i\ds)~ d^cos{r, l). ) Or la seconde de ces équations peut s'écrire sous la forme
(r, r') Si' . , , ^ , , s\n{t, ds) , ,
-^-^ = sm(/, 6^^)cos(/, r) -^ ^. {n)
D'après cela, la première des équations (4) donne la formule
.^, d{r,ds) j sm{r, ds) <^' . ,, , . ,^ , , v
(6) -1^— ^=. '-1 '-+- — sin(^, G?5)cos(^r). [n)
Ces formules étant établies, si l'on prend la variation par rapport à ds de la seconde des équations (3), et qu'on y remplace les variations de l'angle (r, ds) de dr et de dt par leurs valeurs tirées des équations (6), (5) et (3), et que de plus on remarque que l'on a les deux relations
(7) -^=' ] ' {t,ds)^{r,ds)-[t,r), [n)
on tombera sur la relation simple
[d fdt\ j sin(r, ds) i Tcos^fr, t.)— cos'(r, ds)~\ ]ds\dsl~~ Rcos(r,0 "^7L cos^(r, 0 \ \ ,.
' Si' sm'^[t,ds)
r' cos'(/, r) Loi des inclinaisons des tangentes. — Différentions l'équa-
