INTRODUCTION. XIX

et quelquefois arrêteraient la marche du calcul. Il y a dans chaque cas particulier un système de coordonnées qui s'imposent, et il n'est pas difficile de le reconnaître. En effet, la définition de la courbe ne peut être qu'une relation entre un point particulier de cette courbe et une ou plusieurs grandeurs géométriques données. Or un point est déterminé par l'intersection de deux lignes; la définition fera donc connaître les deux lignes dont le point de la courbe définie est l'intersection. Ce sera le couple de ces deux lignes qui formera le système de coordonnées propres à la question.

V. Il est facile de se convaincre que tel est le système de coordonnées qu'il faut choisir.

En effet, l'analyse complète de la courbe donnée par sa définition a pour objet principal : la détermination du point, celle de la tangente, celle du rayon de courbure, la rectification et la quadrature de la courbe.

Au point de vue géométrique, la définition de la courbe montre qu'un de ses points se trouve à la fois sur deux lignes connues; donc, si l'on veut s'assurer que les conditions de la définition sont satisfaites, il faut, quel que soit le système de coordonnées auquel on l'a rapportée, mettre en relief les deux lignes indiquées par la définition; or cela devient évident lorsque ces deux lignes sont prises pour coordonnées.

En ce qui regarde la tangente et le rayon de courbure de la courbe, ce serait un défaut de logique de les déterminer au moyen d'éléments étrangers aux deux lignes qui définissent un point de la courbe. Cette détermination doit être faite au moyen des tangentes à ces deux lignes et de leurs rayons de courbure; or ce n'est qu'en restant fidèle au système de coordonnées donné par la définition de la courbe que les relations entre ces trois tangentes, ou ces trois rayons de courbure peuvent être obtenus le plus simplement possible. En rapportant la courbe à d'autres coordonnées que celles de la définition, on parvient sans aucun doute par une ou deux différentiations à trouver la tangente et le rayon de courbure ; mais les tangentes et les rayons de courbure des lignes coor-