XX INTRODUCTION

données de la définition se trouvent masquées, et l'on arrive à ce résultat anormal que la tangente et le cercle osculateur sont déterminés par des éléments différents de ceux qu'il convenait d'introduire, et que ces belles relations qui existent entre les éléments d'une courbe et les éléments correspondants des lignes coordonnées appartenant à la définition de la courbe, relations qu'on avait tant d'intérêt à connaître, nous devrions dire qu'il était indispensable de connaître, sont précisément celles qui sont le plus cachées par suite de l'emploi inopportun d'un système de coordonnées différent de celui qu'il fallait choisir.

Ces considérations prennent une nouvelle force lorsqu'on les applique à la rectification et à la quadrature de la courbe, lesquelles sont toujours simplifiées lorsqu'on les fait dépendre de la rectification et de la quadrature des lignes coordonnées dévoilées par la définition de la courbe.

VI. Ces raisonnements seront mis dans une plus grande évidence par quelques exemples. Lorsque l'on définit l'ellipse par cette propriété que la somme des distances d'un de ses points à deux points fixes est constante, fait-on autre chose sinon qu'exprimer une relation entre un de ses points et une certaine longueur constante; on affirme que tout point de la courbe est l'intersection de deux cercles dont les centres sont deux points fixes, et dont la somme des rayons égale la longueur constante donnée. Le système des lignes coordonnées sera le système de deux cercles ayant leurs centres en des points donnés, et dont les intersections peuvent prendre toutes les positions possibles dans le plan, par suite de la variation des deux rayons. Les deux rayons variables ou paramètres sont les coordonnées du système. Comme le système de coordonnées bicirculaires à centres fixes et à rayons variables correspond à la définition précédente de l'ellipse, c'est aussi celui qu'il faut adopter dans le cas actuel.

Celui qui, restant fidèle à la définition précédente de l'ellipse, voudrait vérifier si un des points de cette courbe, supposée tracée, lui appartient réellement, celui-là serait forcé de construire deux cercles du système bicirculaire pour