CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Celte équation et la précédente font connaître le rayon de courbure de l'enveloppe de v' .

Théorème I. — Si V on prend deux conjugués harmoniques!), d du point de contact A, le premier par rapport au centre de courbure de la courbe C et au symétrique du centre de courbure de la courbe C, et le second par rapport au centre de courbure de la courbe v et au symétrique du centre de courbure de la courbe v' , ces deux points D, d sont situés sur une circonférence tangente aux deux courbes C, C en leur point de contact.

On déduit la construction du centre de courbure de l'enveloppe V de la courbe v' , comme on l'a donnée au numéro précédent.

Ce cercle tangent au point A est indépendant de la position de la courbe v et de la nature de cette courbe. On déduit :

Théorème II. — Si l'on considère les différentes enveloppes correspondant à différentes courbes v' , v', , . . • situées dans le plan mobile, les conjugués harmoniques du point A de contact des deux courbes C, C par rapport aux symétriques, relativement au point A des centres de courbure des courbes v', v', , . . . et aux centres de courbure des courbes enveloppes correspondantes, se trouvent distribués sur la circonférence d'un cercle d'un diamètre constant pour chaque point A, et tangent en ce point aux deux courbes C, C.

Théorème III. — Si l'on considère les différentes courbes v', v', , v'2,. . ., situées dans le plan mobile, telles que leurs centres de courbure correspondant au point A de contact des courbes C, C soient situés sur un cercle tangent au point A aux courbes C, C les centres de courbure des enveloppes correspondantes seront situés aussi sur la circonférence d'un cercle tangent aux courbes C et C en leur point de contact A.

Théorème IV. — Si l' on considère les différentes courbes v', v', , v'2 , . . . , v'„, situées dans le plan mobile, telles que les centres de courbure correspondant au point A soient situés sur le

*2o8 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

symétrique du cercle ( — j ? les centres de courbure des enveloppes correspondantes seront situés à l'infini.

Théorème V. — Deux courbes parallèles situées dans le plan mobile envelopperont deux courbes parallèles situées dans le plan fixe.

De là on déduit :

1° Deux droites parallèles situées dans le plan mobile enveloppent deux développantes d'une même courbe;

2P Deux cercles concentriques, dont l'un peut se réduire à un point, enveloppent deux développantes d'une même courbe;

S'' Tout cercle qui a son centre sur la symétrique du

cercle (- — ) enveloppe une courbe qui a une inflexion au

point de contact.

104. Coordonnées rectangles. — Résolvons aussi, dans le système des coordonnées cartésiennes, le problème posé au commencement du présent numéro.

Soient les deux courbes C et v' rapportées au système tangentiel par rapport à la développée de la courbe v'; soit S{! le rayon de courbure de la courbe v'; les variables r' et S\J sont des fondions de e'. Soient, comme au numéro précédent, la courbe C rapportée à des axes fixes Ox, 0/; ^ et / les coordonnées du point de contact des courbes C et C par rapport à ces axes, ces coordonnées sont des fonctions d'une seule variable t. Si l'on désigne par a et (3 les coordonnées par rapport aux mêmes axes du point de contact E des courbes v et v', on a, par rapport à chacun des axes Ox, Or, une équation semblable à la suivante :

(4) . (xz=x -h{r'—êi.') QOs{r' ds — xds).

Or, si l'on développe le cosinus et que l'on ait égard aux équations (i) du n" 103, on obtient la relation

,. r.,Jd^ d{r'-\-(7') dyr'de'l

CMAPITIIE II. — DES HOl I.ETÏES. 209

Comme les deux éléments ds et ds' sont égaux, il en résulte que les deux variables indépendantes, la première / relative à la courbe fixe, et la seconde t' relative à la courbe mobile, sont fonctions l'une de l'autre.

Conséquemment, les seconds membres des deux équations contenues dans le type (4') sont fonctions d'une seule variable: ce sont donc les équations de la roulette par rapport aux axes fixes.

Il serait possible de déduire par le calcul des équations (4') toute la théorie des roulettes; mais cette analyse serait moins simple que celle de notre texte.

Quadrature de l'enveloppe. — Supposons que la courbe G {fig. 34) soit une droite, et soient C, v' deux courbes fer-

Fig. 34.

mées, la seconde intérieure à la première; du la différentielle de l'aire comprise entre ces deux courbes, et û l'aire de l'enveloppe, lorsque C a fait une révolution complète sur la droite C; celte aine est celle qui a été balayée par le rayon qui joint le centre instantané A avec le point de contact E correspondant des deux courbes v, V . La différentielle de cette aire se compose d'un trapèze, qui est la dliférentieile r/w, et d'un triangle provenant de la rotation de' de la ligne AE autour du point A, et dont l'aire a pour expression - AE de'; on

a donc la relation, 1 indiquant une somme,

a = u-h -2AE de'.

Supposons [Jig. 35) maintenant que de chafjue point de contact E des deux courbes v, v' on abaisse une perpendicu-

laire EM sur la tangente à la courbe C menée par le centre instantané de rotation ; le lieu des pieds de cette perpendiculaire est appelé podaire de la courbe C par rapport à la courbe v' ; cette courbe est indépendante de la rotation de la figure, puisque les points A et E correspondants se trouvent sur la tangente à la développée de la courbe v': la ligne EM balaye une aire V qui est l'aire de la podaire : elle a une enveloppe Il'F. Si l'on ajoute à l'aire balayée par la tangente AM l'aire w, on trouve aussi l'aire V de la podaire; on a donc

iy^~l(m-ÏE)de'-h -lAM'de'-^u.

Or, si l'on remarque que l'on a