HAPITRE II. — DES ROULETTES

l'expression précédente devient

(6) 2V=:-2ÂËVe'+ M-4-2EMxElûfe'.

On a donc, en retranchant l'équation (5) de l'équation (6), la relation

2V--12=2EMxEI^e'.

Si l'on porte sur la tangente à l'enveloppe ITF, à partir du point de contact I, une moyenne proportionnelle aux segments EM, MI déterminés par la courbe v' et la podaire, cette longueur balaye une aire W, et l'équation précédente devient

Cette équation montre que l'aire V est moyenne arithmétique entre les deux aires Q. ex sW.

105. Problème III. — Le mouvement d'un plan est déterminé par la condition qu'une courbe Ci, située dans ce plan, roule sans glissement sur une courbe plane donnée C; trouver le lieu des positions des centres de courbure de la courbe Ci correspondant aux divers points de contact des courbes C, Ci.

Coordonnées du lieu, — Soient d2 l'élément d'arc de la courbe décrite; a l'angle que cet élément fait avec le rayon de courbure R, de la courbe C, si l'on rapporte la courbe 2 à la développée de la courbe C comme courbe des pôles, en employant le système de coordonnées exposé dans le Chapitre IV, et qu'on représente par (7, Ci les arcs des développées des courbes C, Ci, par r/s, fl?£, les angles de contingence de ces développées, on aura les équations

^ ( (R + ll,)c?£ = sinac/2, Jo- + flf{R -f- R,)=: cos a r/I, *'' I Râfe=rR,r/£„

avec les relations

(2) drT = ~d\\, //o-, =^r/H,.

On déduit facilemenl de ces équations la relation suivante :

(3) (R-l-R.)cola=:R JJ^,

Ri

qui fait connaître la direction de la tangente à la courbe 2.

Rayon de courbure SI du lieu. — Si l'on fait usage de la formule (6'') du n° 63, laquelle est

-. <^^(^^+ g-) d{ir-h d) //^(r-h 0-)

„. I de dz de''

Vdir-h (7)1 M

SI

dans laquelle il faut remplacer

r par R -f- R,, -^-^^ — par -^ ,

d{ir-\-(j] «f(9.l{, + R) 2RR',

par -^ — -r par -— -^ -f- R',

de •' dz ^"* R.

dz' P^^^^ K -^ IX] K\ '

on obtient l'équation

(R + R.)^-irR>|^[3R--(R4-R.)lV;]H-|^R7

[(ll+R.r-i-I^R?]^

qui fait connaître le rayon de courbure du lieu en fonction des rayons de courbure des courbes C, C, et de leurs développées première et seconde.

106. Problème IV. — Le mouvement d'un plan est déterminé {Jig. 36) par la condition qu'une courbe C, située dans ce plan roule sans glissement sur une courbe plane donnée C; lieu des positions des centres de courbure oblique de la courbe Ci correspondant aux divers points de contact des courbes C,, C.

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