CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Coordonnées du lieu. — Si l'on appelle (Ti Tenveloppe du rayon r, qui varie d'après une loi donnée dans le plan de

Fiif. 36.

la courbe Ci, les équations de celle courbe, d'après le système langenliel exposé au Chapitre 111 du Livre I, seront, par rapport à la courbe C,, en appelant dU l'angle de contingence de cette enveloppe

sina, I I

(i) r, c?/, = ^5, sin«t, c^c, = û?r, -f- c?s, cos«i,

or, pendant que le plan de la courbe C, se meut, il entraîne avec lui le rayon r,, qui a une enveloppe o- dans le plan fixe. Si l'on rapporte cette enveloppe à la courbe s dans ce plan, on aura, di étant l'angle de contingence de cette enveloppe, les équations

sina I I

(i') rdi= dss'ina, drj =. — dr -^dscosa,

or il est évident que l'on a les relations suivantes :

(2) a^^^a^, ds=zds^, rdi = r^diiy d((jx — r,)r= </((t + r),

lesquelles entraînent la condition

, , , I I , , I r/« I da

2l4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

Cela posé, rapportons le lieu des positions des centres de courbure oblique de la courbe C, à la courbe enveloppe o-, en employant le système de coordonnées langentielles du Chapitre IV. Soient dl.^ l'élément d'arc de courbe de lieu, F, son rayon de courbure, «i l'angle du rayon r, avec l'élément J2,, on aura les équations

(3) (r-h r, ) J/ =r sina, 6^2,, ^{r -h r, -4- <t) = cosa, i/2,. Si l'on divise l'une par l'autre, on obtient la relation

. . d(r-\- T\ ) d(j dav

(,+ ,,,col«, = — ^^4-^ = -^-.;

or, si l'on appelle ^,, Si. les rayons de courbure de o-,, a, on obtient

(4) (r-l- r, )cota, =:^, — •

Cette formule fait connaître l'angle du rayon r, avec l'élément dli.

Rayon de courbure. — Pour obtenir le rayon de courbure F,, on fera usage de la formule (6") du n" 62, laquelle devient

d(j\ d(7, — d7 dai , ,d^a-i

Posons, pour abréger,

si l'on remarque que l'on a les relations

ddi dG\ r d ( d(Ji\ r d /da^ r\

di diy r, ' di \ di ) r, dix \ dii r, / '

et que X, est l'hypoténuse du triangle rectangle dont un côté

CUAPITHK II. — DES ROULETTES. 2l5

est (r-i- i\), et l'angle opposé a,, on obtient

On peut faire subir à cette expression une nouvelle transformation. En effet, on a

d [ r ^\ , r Si, / rir dn\

Or les formules (i) et (i') donnent les relations

dr, d(T,

dii di, On en déduit la relation

r, cota,, -rr = jv -h rcota.

d f r ^\ r , -. /«^ <^.\ Si, , ^

par suite, on a 1 équation

cola

l^l^BP

Jr' ■., r' /Si Si\ ^ "1 L\si\L.^^(rSi,-r,Si)\^

Pour passer du cas qui nous occupe au cas où il s'agit de déterminer le lieu des centres de courbure de la courbe C, il faut remplacer, dans les formules précédentes, r et r, par R,

R, ; «^ et Six par R',, R", -, S\!^ par R", , et poser « ^ - ; on obtient

alors l'équation (5) du numéro précédent.

Si la courbe C devient une droite, il faut poser R infini et R' nul; on trouve alors, pour le rayon de courbure y, du

2l6 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

lieu des centres de courbure de l'expression suivante, I R? K?

qui coïncide avec la formule (3) du n'' 79, obtenue par une autre méthode.

107. Problème V. — Les mêmes choses étant données que dans le problème II I, lieu des positions sur le plan fixe des points situés sur le rayon de courbure de la courbe C, au point de contact des deux courbes à une distance L de ce point donnée par la relation suivante, dans laquelle m est constante :

mil

Tangente du lieu, — Conservons les notations du n° 105, on a les relations

( (R -+■ L)c?e=: sinao?2, da -h d{R -h L)— cosocdly ^^^ j RG?e=::R,^£,, d(7-hdK = o;

on déduit de ces équations là relation

dL ,^ , L^R/R' R'A

(3) ^(R^L)cota=.— (^3 + ^).

Cette équation fait connaître la direction de la tangente à la courbe.

Rayon de courbure. — Pour avoir le rayon de courbure Si de la courbe 2, il suffit de faire usage des formules (6) du n° 63, que l'on peut écrire sous la forme

(4) { dr/dr-^da\ d'{r-+- a)

l A CO ~ (î)»