INTRODUCTION. XXI

montrer que ce point est leur intersection; comme aussi, si, après avoir trouvé l'équation de l'ellipse dans le système rectiligne, il voulait la vérifier d'après la définition, il serait obligé de mettre en évidence les équations des deux cercles pour montrer qu'elles ont une solution commune avec l'équation de l'ellipse. Or cette vérification intuitive dans le cas du système bicirculaire n'est point évidente dans l'équation cartésienne de l'ellipse, dépouillée de radicaux; et si Ton persiste à se servir de cette équation, sans faire cette vérification, on détermine les points de la courbe par des conditions différentes de celles de la définition.

Passons maintenant à la tangente et au rayon de courbure de l'ellipse. Une première différentiation de l'équation de la courbe, écrite dans le système bicirculaire, apprend que la normale à l'ellipse est bissectrice de l'angle des normales des cercles coordonnées; et une seconde différentiation apprend que le rayon de courbure de l'ellipse et les segments interceptés sur ce rayon par les perpendiculaires menées des deux centres des cercles coordonnées aux rayons correspondants satisfont à la division harmonique. Or, lorsque l'on différentie une première et une seconde fois l'équation rationnelle de l'ellipse écrite en coordonnées rectilignes, d'après la même définition, on arrive très-certainement à déterminer la tangente et le rayon de courbure de cette courbe, mais c'est au moyen d'éléments différents, étrangers à la définition, et les deux belles relations qui existent, la première entre les normales de l'ellipse et des deux cercles coordonnés, la seconde entre les rayons de courbure de ces trois lignes, se trouvent plus ou moins obscurcies, de sorte que les avantages que l'on retire de l'emploi des coordonnées rectilignes, et qui sont principalement relatifs au nombre d'intersections de la courbe avec une droite, sont loin de compenser les avantages qui appartiennent aux coordonnées de la définition. En effet, ces coordonnées font connaître tout ce qui intéresse non seulement la conique définie, mais encore la série des coniques homofocales que l'on obtient par la variation de la constante qui représente la somme des deux rayons, parce que les équations différentielles que l'on obtient, ne renfer-