Problème VIL — Une courbe *, roule {Jig-^']) sur une

autre courbe s; enveloppe v d'une droite v' située dans le plan de la courbe roulante C,.

Ce problème, que nous avons ébauché au n° 50, se présente

ici comme conséquence du n'' 103. Supposons que -^ r=:D

soit l'équation élémentaire de la courbe roulante rapportée à

un axe O'X', situé dans son plan et tangent à la courbe au

point 0', et que l'équation de la courbe fixe rapportée à l'axe

ds fixe OX soit -r = R, D étant une fonction de <^ et R une foncde

tion de e. On suppose qu'au commencement du mouvement

les origines 0, 0' coïncident, ainsi que les axes OX, O'X'.

Conditions du problème, — Si l'on conserve les notations

du n° 102, on aura les équations

dpi . dri

-f-=sm«,, -j- = cosa,, rr- ==

asi ast

rde . d(r -h (7)

-j- = sin«, -^ -' =z cosa, =r =

ds ds R

Les équations de la première ligne représentent les équations d'un point situé à l'infini dans le plan mobile sur la direction de AM, ce point étant la développée de la droite

Ri

da,

dsr

sma r

da ds'

O'M(v); dp^ est la distance de deux droites parallèles AM, A'M' infiniment voisines, r, la distance de A à la droite donnée v' . Il faut joindre aux relations précédentes les conditions

(2) ds=:dSt, a -{- ai=: 2.71.

On déduit

ds __ ds ^^^ da,-~Ta'

la développée de l'enveloppe (v) aura donc pour équations celles qui représentent le mouvement d'un rayon mobile A/x

dont un point A glisse sur une directrice C avec une vitesse -rt

pendant que le rayon tourne autour du point A avec la vitesse

, . , , da . j

de rotation par rapport a la tangente -tt» le rapport de ces

vitesses étant donné et égal à D.

Tangente à l'enveloppe v. — Si Ton ajoute entre elles celles des équations (j) qui donnent cos«, cosa,, on trouve la relation

or, n représentant la distance du point A à un point [Lx situé à l'infini dans la direction AM, Mp.i sera une constante et l'on aura la relation

(5) ^r, =:rf(Af/.)r=r:r/(A]VH-M^,) = ^(AM); d'une autre part on a aussi

(6) dr = d{AiJ.); donc la relation

(7) d(T-+-d^ = o donnera, en vertu de l'équation (4), la condition

(8) A=rMA-f-A// = M|ui.