DES ROULETTES

Rayon de courbure. — En ajoutant entre elles les équations (i) relatives à sin«, sina,, on trouve la formule

sina

Cette équation et la précédente donnent le rayon de courbure de l'enveloppe, et l'on retombe sur des équations et des constructions déjà connues.

Si la courbe C est une droite, il faut poser ^ = o dans l'équa-

lion ((

■))y qui devient

sina I r ~R.

De là on tire la proposition suivante :

Le symétrique du centre de courbure de la courbe Ci par rapport à la tangente à cette courbe se projette sur la direction de r, sur le centre de courbure de V enveloppe de la droite.

Quadrature. — Dans le cas où la courbe C est une droite (fig.ZS), soit Q. l'aire de l'enveloppe de la droite vi, aire balayée

par la droite qui joint le point de contact M des courbes C, et C avec le point de contact correspondant de la droite v, et de son enveloppe; soit V l'aire de la podaire de l'enveloppe, aire balayée par la droite abaissée du pied de chaque ordonnée X de la courbe C, perpendiculairement à la tangente menée par l'autre extrémité de x; soit U l'aire balayée par la portion de la tangente à la courbe C,, comprise entre le point

de conlact et le pied de la perpendiculaire dont nous venons de parler; soit W l'aire balayée par la projection de celte portion de tangente sur l'ordonnée x de la courbe G,,

Si l'on remarque que dO. se compose d'un rectangle xdy provenant du passage d'un point de l'enveloppe de v, à un

point infiniment voisin et d'un triangle - x'^de^ provenant de

la rotation de la figure autour du centre instantané, on a la relation

0 rzr - 2a;^dei -f- Ixdr.

Si l'on remarque que d\ se compose d'un rectangle dont les deux dimensions sont xsina, d'jsina, et d'un secteur dont l'angle est dey et le rayon x sin a, on a

Vr=: - ^x'^siWadei -\- Ixs'wi^adf; si l'on retranche l'une de l'autre, on obtient

(lo) 12 — V:= -l^r^cos^ac/e, -h 2^ cos^acÇ^;

or le premier terme du second membre n'est autre que U, et le second terme n'est autre que W; on a donc la relation

(lO') 0=::V + U-hW,

qui donne l'aire de l'enveloppe en fonction des trois aires U, V, W que nous venons de définir. Il va sans dire que, dans cette formule, les aires doivent correspondre à un même arc de la courbe C,.

Application. — La courbe C, est un cercle de rayon OC(fl) et la courbe v, un diamètre. Lorsque la courbe C, roule sur la droite, elle enveloppe, après une rotation complète, deux

cycloïdes successives engendrées par un cercle de rayon -

pendant qu'il roule sur la droite C; donc û = - r.a"^'