CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Si l'on exprime «, en fonction de E, au moyen des relations angulaires établies ci-dessus, on aura l'équation élémentaire de la roulette

RR.(R^ — /^)sin(i.

(K-f-R,}(R;— /') — RH.sin«,(R, sina.— v//'— K^cos^a.)'

111. Équations en termes finis. — Soient D, N les projections des points M, 0, sur l'axe des Xy on a

ODr=:ON-f-ND;

or on obtient directement les relations

ON=r(R-+-R.)cose,

NDz=/cos(MOjr)=r: /cos{I,0,A-4-e) = /cos( — e-f- e|:

conséquemment, si l'on appelle x et r les coordonnées rectangles du point décrivant M, on aura, en prenant les projections des points Oi, M sur l'axe des j et en raisonnant comme nous venons de le faire, les équations cartésiennes de l'épicycloïde allongée

^ rr: ( R -f- R, ) COS e + / COS ^r ' 6,

j= (R + lîo)sme -f- Zsm — e.

Si l'on appelle p le rayon vecteur et ^ l'angle qu'il fait avec l'axe des ^, on aura les équations polaires de la courbe

0' =r (R + R,)^ -I- i^ 4- 2 /(R -f- R.) COS ^ e.

Ri

R-f-R,) sin<?-f-/

tang^* =

(RH-R,)cose-l-/cos( — - — - e\ __ R -h R, sin(^ — <?}

/ . /, Rh-R. \

232 LITRE II. — COURBES RAPrOUÏÉES A DES SYSTÈaiES, ETC.

On peut tirer de la première de ces équations e en fonction de p, et en portant cette valeur de e dans la deuxième, on obtient en coordonnées polaires l'équation d'une épicycloïde allongée ou raccourcie quelconque en termes finis.

Cas particuliers. — i° Si Rv = R, on a les deux équations

/T>, 7, r /T> I '2R sine-h / sin2e

p»= 4R' -f- l^ -t- 4/R cos^, tangO; = —^ :

•^ » OT 2Rcose-|- /cosse'

2° Si R=: 2R„ on a les deux suivantes :

2 9^^' . 72 , o; . I 3 sine H- / sinSe

9^^=—, — t- /^ -+- 3/cos2e, tangq;=r ^-.

4 ' DT 3 cose -4- /cos3e