DES COURBES PRODUITES PAR LE MOUVEMENT D'UNE FIGURE PLANE INVARIABLE

Ce Chapitre est consacré à l'étude des courbes engendrées par des points ou enveloppées par des droites d'une figure plane invariable qui se meut parallèlement à son plan. La détermination des éléments de ces courbes dépend de l'analyse précédente et se fait d'une manière aussi rapide que naturelle, comme cela va résulter des questions que nous allons résoudre.

§ I. — Principes.

112. Problème I. — Le mouvement d'un plan mobile est déterminé par la condition que deux de ses points 0, Oi glissent constamment sur deux courbes v, v, situées dans le plan fixe : trouver la courbe Vi engendrée par un troisième point fixe O2 du plan mobile.

1° Il est évident que le mouvement du plan mobile est le mouvement parallèle au plan fixe le plus général qu'on puisse supposer. Car, quel que soit le mouvement d'un plan mobile parallèlement à un plan fixe, deux points déterminés du premier plan parcourent deux courbes déterminées sur le second. Donc, réciproquement, si l'on donnait les deux points dans le plan mobile et les deux courbes trouvées sur le plan fixe, on aurait le mouvement dont il s'agit.

2° Ce mouvement est équivalent à un mouvement de roulement d'une courbe mobile C, sur une courbe fixe C, la courbe mobile conduisant son plan. En effet, si l'on se reporte au problème des roulettes, n° 101, on voit qu'un point 0' pris sur le plan mobile engendre une courbe v sur le plan fixe; si

l'on considère un second poini 0', sur le plan mobile, ce point engendre une seconde courbe v, sur le plan fixe, de sorte que le mouvement de roulement du plan mobile serait produit si ce plan était conduit par les deux points 0' et 0', invariablement liés à ce plan et glissant sur les deux courbes v, v, préalablement tracées sur le plan fixe. Ces deux mouvements sont donc équivalents.

3° 11 est toujours possible, quand le mouvement est défini par les conditions du présent problème, de trouver le mouvement de roulement équivalent; il suffira, dans les positions successives des points 0', 0', sur les courbes v, v,, de mener des normales aux courbes en ces points. On marquera sur le plan mobile et sur le plan fixe la série des points d'interseclion A, A,, Aï, A3,..., B, B,, B2, B3 des normales correspondantes; la série des premiers points donnera la courbe roulante et la série des seconds la courbe directrice. Et il est évident que le mouvement sera un mouvement de roulement produit par la courbe AA,A2...A„ roulant sur la courbe BBiB2...B«. En effet, lorsque A et B coïncident, le mouvement élémentaire est un mouvement de rotation autour du point de coïncidence, puisque les points 0' et 0', décrivent des arcs de cercle infiniment petits ayant pour rayon, le premier O'A, et le second 0', A. Par la manière dont les polygones infinitésimaux AA, Aj... A„, BB,B2...B„ ont été construits, AA, et BB» sont égaux; donc les points A, et B, sont amenés en coïncidence par la rotation, et la nouvelle rotation élémentaire se faisant autour de ce nouveau point de coïncidence amène la séparation des éléments AA,, BB, et la coïncidence des éléments A, A2 avec B, B2..., et ainsi de suite.

Normale. — D'après cela, si par les points 0', 0', on élève des normales aux courbes v, v,, on déterminera par l'intersection de ces normales le point A centre de rotation instantané; en joignant 0'^ avec le point A, on a la normale à la courbe V2.

Rayon de courbure. — Les centres de courbure ( n*" 102) de v et de V, sont situés le premier sur O'A, le second sur 0', A; or, si l'on prend les conjugués harmoniques </, </, du point A, le premier par rapport au centre de courbure de v et le symétrique de 0' relativement au point A, le second par rapport au