CHAPITRE ill. — DES COURBES PRODUITES, ETC

centre de courbure de vi et le symétrique de 0', relativement au même point A, les trois points d, c^,, A déterminent une circonférence de cercle. Si maintenant on appelle d-i l'intersection de ce cercle avec la ligne qui joint le point 0\ au point A, )e quatrième harmonique du symétrique du point O'j, du point A et du point 6/2 (A étant le centre de symétrie) sera le centre de courbure de la courbe v^ engendrée par le point 0\. On connaît donc la tangente et le centre de courbure de la courbe v^ à chaque instant du mouvement.

Remarque. — Le cercle qui passe par les points A, d, d^ a pour diamètre AD qui coïncide avec la normale commune aux deux courbes C, C, en leur point de contact A; d'ailleurs les points A, D, le centre de courbure de la ligne C, et le symétrique du centre de courbure de la ligne C, par rapport au point A sont en proportion harmonique. Donc, l'un de ces deux centres étant connu, l'autre centre est par cela même déterminé.

113. Problème II. — Le mouvement d'un plan est déterminé par la condition que deux courbes v' , v\ situées dans son plan restent constamment tangentes à deux courbes v, v, situées dans un plan fixe ; courbe enveloppe d'une courbe v\ située dans le plan mobile.

Si des points de contact E, E, ( n° 103) des deux courbes v', v\ avec les courbes v, v, on élève des perpendiculaires, leur intersection détermine le point A. Or les centres de courbure des courbes v', v sont situés sur EA, et de même les centres de courbure des courbes v',, v, sont situés sur E, A; donc, si l'on prend les conjugués harmoniques </, c/, du point A, le premier relativement au centre de courbure de v et du symétrique du centre de courbure de v' par rapport à A, le second relativement au centre de courbure de v. et au symétrique du centre de courbure de v\ par rapport au point A, les trois points d^ dx, A déterminent un cercle. Si maintenant on appelle d^ l'intersection de ce cercle avec la perpendiculaire abaissée du point A sur la courbe v\, et qu'on prenne le symétrique par rapport à A du centre de courbure de la courbe v\, le quatrième harmonique de ce poini et des points A et d^ sera le

centre de courbure de la courbe Vj enveloppe de la courbe v'j. Celle conslruclion donne à la fois la langenle el le rayon de courbure de l'enveloppe vj.

Des remarques analogues à celles qui terminent le n° 101 sont également applicables à la question présente.

On résoudra sans difficulté et de la même manière la question suivante :

Problème III. — Le mouvement d'un plan est déterminé par la condition que l'un des points du plan mobile glisse sur une courbe fixe, tandis qu'une courbe tracée dans le même plan se trouve tangente à une courbe tracée dans le plan fixe : trouver l'enveloppe d'une courbe située dans le plan mobile.

Remarque, — Dans les problèmes précédents, on pourrait, au lieu de la courbe v\ tracée dans le plan mobile, donner la courbe V2 enveloppe de v\. La proportion harmonique donnerait également la tangente et le rayon de courbure de la courbe v\.

Discussion. — Traçons {fig. 4^) langenliellement aux courbes G, C au point A et du même côté que la courbe C de*ux

cercles, le premier de diamètre AD, le second de diamètre — î que nous appellerons cercle (AD), cercle 1 — |^ traçons les deux symétriques par rapport à la tangente au point A.