CHAPITRE IH. — DES ^OLllBKS PRODUITES, ETC

sur la courbe BC. Mouvement d'un point M situé dans le plan, mobile.

Soit la courbe BC rapportée à deux axes rectangulaires situés dans le plan fixe, 0.^, Of passant par le point 0, et r=f{Q) l'équation polaire de celte courbe par rapport à 0 et à l'axa des^, 0^. Soit la courbe B'C rapportée à deux droites 0'x\ O'f' rectangulaires situées dans le plan mobile, et soit r, :=f^{B^ ) son équalion polaire par rapport à O^ et à l'axe 0':v\ Soient x' , y' les coordonnées de M par rapport aux axes mobiles, et X, Y les coordonnées du même point par rapport aux axes fixes, on a les deux équations

i X = r cosO — x' cos(0. — 0) — j' sin(0, — 0), ^^' j Y = rsin9-+-.T' sin(0. — 0) — j' cos(0, — 0);

or, puisque les deux rajons vecteurs r et r, son! les memes^ on a l'équation

portant dans les équations (i) la valeur de ^, en fonction de 9 tirée de cette dernière équation; les équations (i) représenteront le lieu des positions du point M sur le plan fixe. On déduit de ces relations les équations suivantes :

{ x' = r, COS0, -f- Y sin (0. — 0) — X cos(0. — 9), ^* ^ I j' = r.sin0, -Ycos(0, -0)- Xsin(0. — 0);

et si l'on exprime 9 en fonction de 9^ au moyen de l'équation (2), on aura les équations du lieu des positions dans le plan mobile d'un point M situé dans le plan fixe.

Si l'on jéJimine 0, 0, entre les équations (i) et l'équation (2), on aura une relation entre X, Y, x'y j', et cette équation aura cela de remarquable que, suivant qu'on y considère :r', f' comme constantes et X et Y comme variables, ou bien ces dernières comme constantes et les premières comme variables, on aura l'équation cartésienne du lieu dans le plan fixe ou dans le plan mobile.

Podaire de l'enveloppe d'une droite IIS située dans le plan

mobile par rapport au point 0 situé dans le plan fixe. — Soil {fi'g.57.) RS situé dans le plan mobile; si des points O el 0' on

Fig. 52.

abaisse des perpendiculaires p et p, sur cette droite, el qu'on représente par e et e,, ^ et ^]>, les angles que cette droite et la direction des perpendiculaires font avec les axes Oo:, Ox'^ on aura les deux relations linéaires

(3) p — pt = rcos{^ — 6) = rcos(^i — 6i)

et les deux relations angulaires

— tf = h e,

Donc, par suite de l'équation (3), 0 est une fonction de ^ et de e,, et 0, une fonction de 4^, et de e. De là résulte que la première des équations (3 ) donne la valeur du rayon vecteur p en fonction de ^ et des deux constantes ei et p,, tandis que la seconde donne la valeur du rayon vecteur p, en fonction de ^t et des deux constantes e et p. La première est donc l'équation de la podaire dans le plan fixe, d'une droite située dans le plan mobile, par rapport au point 0, el la seconde est l'équation de la podaire dans le plan mobile, d'une droite située dans le plan fixe, par rapport au point 0'.