INTRODUCTION. XXIII

aient considéré les coniques d'après la définition précédente qui nous a été léguée par l'antiquité, ils ne sont pas arrivés aux deux règles si simples que nous venons de donner, non par l'impuissance de leur talent, mais par celle de la méthode.

VIII. Remarquons encore ici que ces deux propriétés appartiennent à toutes les coniques de la série obtenue en donnant toutes les valeurs possibles au paramètre constant qui exprime le rapport des distances d'un point de la courbe au point fixe et à la directrice, par suite de l'élimination qui a été faite de ce paramètre par la différentiation. On arriverait même par là à de nombreux théorèmes qu'il n'entre pas dans notre but de développer ici, nous contentant de citer les deux suivants, d'une haute généralité :

1° Si une série de coniques ont un foyer commun et une directrice commune, tout point du plan de ces courbes sera tel, que si l'on prend les polaires de ce point par rapport à toutes les courbes de la série, ces polaires seront convergentes;

2° Si du même point on mène des perpendiculaires à ces différentes polaires et qu'on prenne sur ces perpendiculaires, à partir du point des troisièmes proportionnelles d'une part aux diamètres parallèles aux polaires, et de l'autre aux distances de ces polaires aux centres correspondants, les extrémités de ces troisièmes proportionnelles seront en ligne droite; celle qui correspond à la conique qui passe par ce point n'est autre chose que le rayon de courbure de cette conique. On a donc une nouvelle construction du rayon de courbure de la conique.

Ces deux propriétés font connaître la tangente et le rayon de courbure de toutes ces coniques.

Il est inutile d'insister sur l'application de celle doctrine à de nouveaux exemples, cette application étant ordinairement facile et toujours infaillible.

IX. 11 convient de voir si le second principe de l'Analyse des courbes, d'après lequel on n'introduit dans cette analyse