XXIV INTRODUCTION

aucun élément étranger à la courbe, principe qui n'a dû subir qu'une légère restriction pour convenir à la théorie des courbes tracées sur une surface, convient d'une manière complète et absolue à l'Analyse des courbes planes. Si l'on remarque que la courbure de la surface devient nulle lorsqu'il s'agit d'un plan et que la déviation géodésique d'un élément de courbe, par rapport à l'élément qui le précède, se confond avec la déviation proprement dite lorsqu'il s'agit d'une courbe plane, on voit que l'équation de la surface disparaît et que l'équation qui donne le rapport de l'arc élémentaire à la déviation élémentaire en fonction de la déviation intégrale subsiste, et qu'elle suffit pour caractériser la courbe. Ainsi le second principe de l'Analyse des courbes tracées sur une surface s'applique sans restriction aux courbes planes, l'Analyse générale ne se trouve pas modifiée; son caractère d'unité et de simplicité ne reçoit donc aucune atteinte.

L'équation qui donne le rapport différentiel de l'arc à la déviation en fonction de la déviation totale, outre qu'elle ne renferme aucun élément étranger à la courbe, contient tous ses éléments naturels; car, si on la considère comme un polygone infinitésimal, ce polygone n'a que deux sortes d'éléments, ses côtés et ses angles, et il est complètement déterminé dès que l'on connaît la loi du rapport d'un côté quelconque à l'angle qu'il forme avec le côté coniigu; de là résulte que l'expression du rapport différentiel de l'arc à la déviation détermine complètement la courbe. C'est pour cela que nous l'appelons équation élémentaire, équation naturelle de la courbe; comme aussi nous di^^é[ows coordonnées naturelles, coordonnées élémentaires de la courbe, l'arc et la déviation.

X. Euler a le premier fait usage d'un système de coordonnées analogue au précédent. Ce système se composait des rayons de courbure et des angles qu'ils forment avec une ligne fixe: mais il l'employait non pour étudier la courbe elle-même, mais afin de déterminer plus facilement, dans les problèmes d'une certaine nature, les coordonnées cartésiennes du point de cette courbe, lesquelles s'expriment alors tantôt en fonction de l'arc, tantôt en fonction de la déviation. Nous