CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC
deux courbes, Oa et MS iieu des centres instantanés de rotation dans le plan fixe.
Soient les courbes Oo-, MS données par leurs équations naturelles
Si l'on rapporte la courbe 5 à la courbe cr, en conservant les notations d'usage, on a les équations (n^ 62)
, , . rdz d(r-hG) i s'wa da
(2) sin«=:— r-5 cos«= -. ? 7-== 1- ^-•
' ds ds U r ds
Si l'on élève aux points 0 et M des normales, leur intersection M, est un point du lieu cherché M, S,; soient OM, = r, et «1 et a, les angles que la tangente au point M, à cette courbe fait avec les deux normales. Nous représentons les éléments de celte courbe par les mêmes lettres représentant les éléments correspondants de la courbe MS; mais, pour les différenlier, nous les affectons d'un indice i.
Équation du lieu des centres de rotation. — Le triangle OMMt donne la relation
OM, = OMcotrt,
on en déduit
dr
(3) '^-Te^""'
Donc la question est ramenée à calculer -7- en fonction de s,
dr question déjà résolue au n° 74; en posant -7- = r' = ij;(£),
Véquation du lieu rapportée à la courbe a sera
Soit C<t' la développée de la courbe o-, on voit que la dislance CM, du point M, à cette développée comptée sur la lan-
278 LIVRE II. — COURBES RAPrORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
dr génie est égale à -r\ donc, si l'on rapporte le lieu des points M,
à celle développée (système langentiel), l'équation du lieu sera
GTla développée g' est donnée par la relation g' ^ S\.-=^ consi., de laquelle on déduit
qui est l'équation naturelle de cette développée (n°»42 et 43). Tangente. — Rapportons le lieu des points M, à la développée d' y nous avons les équations
ias d{r'-\-(7') r'de' . d(r'-h(j')
<^) —d^- =''''''- lZr=='*"^- -7d^ = '^'''^'
Si l'on différentie celle des équations (2) analogue à la dernière des équations (6), en ayant égard aux équations {2), on trouve
da r' sina,
égalant cette valeur de y; à celle qui est fournie par la troisième des équations (2), on obtient
( 1 ) ^Ot«, — cola — -r-. -, — -^r ,
' r' sina \N R/
qui est semblable à celle que nous avons trouvée au n" 23, el qui, par conséquent, se construit de même manière et donne la direction de la normale à la courbe ^,.
Hayon de courbure, — Si l'on remarque que l'on a
dai I I
ds^ ~ Ft ~ n;
