CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC
el que les équations (2) et (6) fournissent la relation
rs'inaidsi=:r'sïnadsy on a
d cola I / I I \
^cotrti r' s\na f i
ds r s'm^ai \N, R
de là résulte que, si Ton différenlie 1 équation ( 7 ), on trouvera,
• dfi
après quelques réductions faciles et en se rappelant que -r-i
dui , , II,,,
~j- sont représentes par ^r» tt? 1 équation suivante
sin'«
W sin^^^i VN
fr' / I i\ If" K'N\"] .
qui donne l'expression et la construction du rayon de courbure R, du lieu des points M.; or, d'après une remarque déjà faite, lorsque l'on connaît le rayon de courbure du lieu des centres instantanés dans le plan fixe, on connaît par cela même, d'après l'équation (2) du n*» 115, le rayon de courbure du lieu des centres instantanés dans le plan mobile.
Lieu des centres instantanés de rotation dans le plan mobile. — On prendra pour axe des x' la droite MO, et pour axe des j' une perpendiculaire menée par le point M ; on a
r=:F(£); donc
{10) x' =: rz=zY[e)y j' — r cot^ = F(£) cotrt;
or a est une fonction de s que l'on peut calculer d'après les équations données au n^ 74; donc les équations (10) sont les •équations du lieu des points M, dans le plan mobile.
^8o LIVRK ir. — COURBES UAPPOUTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
La tangente et le rayon de courbure de ce lieu dépendent, d'après ce qui a été dit, de la tangente et du rayon de courbure de la courbe précédemment étudiée.
133. Problème XXII. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème précédent, la courbe directrice MS est une droite, lieu des centres instantanés de rotation.
Si l'on conserve les notations du numéro précédent et qu'on admette {fig'SS) que la droite MS coïncide avec l'axe 0' x
llg. D.K
l'angle e devient nul, l'angle e devient supplémentaire de l'angle «; cela posé, on détermine les éléments de la courbe M, S, de la manière suivante.
Point de la courbe, — Le point M, de la courbe est déterminé par l'intersection des normales OM,, MM, aux deux Gourbes, et Ton a, en appelant p la distance MM,,
sma
Tangente. — L'équation (7 ) du numéro précédent donne (a) cota, — cota := . . . ->
r sin"«
de laquelle on déduit, en appelant i l'angle que la tangente à la courbe M, S, fait avec MS,
sin«.
sm^i
r sinasin(« — a,) sin«cosi'
CHAPIÏRIE III. — DES COURBES PRODUITES, EÏC. ^Sï
Élément de rare J5,.— On a, d'après les formules (2) et (6) du numéro précédent,
. dst r' s'ina i
^^ ds r sin«, cos«
Rayon de courbure. — La formule (9) du numéro précédent donne
r' sin^a / I i\
7 sin='«, \N; ~" R^/
2 cota 2 r
r or, si l'on y remplace N, par sa valeur -; -, et qu'on en éli-
mine r' au moyen de l'équation (3), on obtient l'équation simple
ia\ ' rr" ~~ r'^ . i
(6) —.=: — sina ^ — ?
^ ' R, cos^i r' rsinct
qui donne une construction facile du rayon de courbure R,.
Longueur de la tangente T, de la normale N,. — On a les relations
l' —r' rtang«,
\ cos«i sin«sin(«, — a)
\ ' sin«, sin« sin(« — a,)'
la sous-langenle et la sous-normale sont données par les formules
ç, rsin«, lang«, rcos«,
'' sinflsin(«, — «)' "' sina sin(«, — a)
134-. Seconde méthode de solution; vérification des formules précédentes. — Soient x et j les coordonnées du point M, par rapport à deux axes rectangulaires dont l'axe des x coïncide avec O'S; cherchons la solution du problème précédent dans ce système de coordonnées.
Point de la courbe. — Soit s la distance du point 0' au point M; on a, pour déterminer le point M, du lieu les deux
équations, en ayant égard aux équations (2) du n" 132,
r ds
•^ sina de
ds et comme s ei-r sont des fonctions de s (n° 74), l'élimination
de celte variable donnera l'équation de la courbe en coordonnées rectangles.
Si s n'est pas connu en fonction de e, on opérera de la manière suivante : la courbe 7 étant connue, en appelant ^' et j' les coordonnées du point 0 de cette courbe et j'^, x\ des constantes, on a
(â) x' — a;\=: I cosedd, j'— j, — / sine Je;
or
y' x=zx' -hr' coiSy r=-7 — ; sm'e
donc on a les équations
a:=û!:\-hj cos£^/(7 -I- j'^ cote 4- cote 1 siner/jy,
r = -~7- -f- -7-v- / sïned(ï, •^ sin'e sin^e J^
qui seront les équations du point M,.
Tangente, — On a
de [de)
(2) tang/=:
ds Je
pour vérifier cette formule, il suffit d'y substituer les valeurs
ds d^ s de -T-5 -7-7 tirées de la deuxième des équations ( 1 ) ; on obtient
r' (2') langi = -- -f- cota,
