CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

égal à /'(s) d'après l'équation (2), et coriséquemmenl

(5) Rsin'£ = /^sine(/£;

si l'on différentie celle équalion, on trouve

(6) 2 Rcos£ + R'siner=^.

Telle est la relation qui lie le rayon de courbure ai de la courbe du- avec le rayon de courbure de la ligne qui nous occupe el le rayon de courbure de sa développée. Si l'on se reporte à la figure, on voit que si, à partir du point M, on prend une longueur égale à 2R double de la normale MM, et en sens inverse de celte normale, qu'à l'extrémité de celle longueur on mène une perpendiculaire égale au rayon R' de la développée, dans le sens des x positifs, le centre de courbure de la courbe a- sera la projection de l'extrémité de R' sur la direction de la normale OM, à la courbe d(7.

Le rayon de courbure R et les rayons de ses développées première et seconde sont aussi liés par une relation simple avec le rayon de courbure R, de la courbe après le développement; celle relation est

R, cos^'/ R^ R^ Rsin^«'

elle résulte de l'élimination de r, r', r" entre l'équation (6) du n" 133 et l'équalion

r r= R sin«,

et ses deux dérivées par rapport à s.

136. Problème XXIÏI. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème précédent, d'un point 0" on mène des rayions égaux et parallèles à MO. Nature du lieu des extrémités de ces rayons {fig. ^5).

Soient ï., e, o-,, ^, le rayon vecteur, l'angle polaire, l'arc el le rayon de courbure de la courbe; a, / les angles de la tangente avec le rayon vecteur el avec l'axe 0"^; on a les équations

relatives à celle courbe

(ij -j — = Sina, -T-=:cosa,

et aussi les équations

(2) da -h dr= dscosa, rd£=:z dssina

relatives à la courbe c.

Tangente, — Comme r. et r sont égaux, on a, d'après l'équation (2) du n« 134-,

cota = — z=: tang^ — cot«,

et conséquemmenl

(3) cota -4- cota, H- cot«=:i o;

telle est la relation qui lie les angles a et a, des tangentes des courbes *, et o-, avec leurs rayons vecteurs, et l'angle a que chacun des deux rayons vecteurs fait avec l'axe des x. Élément de la courbe

da\ = {r'-{- r'')dz\

Conséquemmenl, en ayant égard aux équations (2) du numéro présent et aux équations (6) du n° 132, on obtient la formule

(4) d(j\:=ds''s\n^a -h ds]s\x\''as.

Rayon de courbure Q. — On a les relations

,-., I sina doL r'

(5) ^=z h-p- » cota — —:

si l'on dilYérentie cette dernière et qu'on ail égard aux relations (i), on a

da. rr" — r'- .

d<Ji r^