CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

si l'on élimine a entre ces deux équations, on a la courbe 5, c'esi-à-dire le cercle Ri rapporté au cercle R; et ce sera l'inverse si l'on élimine entre ces deux équations l'angle e. On obtient ainsi

(2) r = ôcos£ zizv'RÎ — (R — <5sin£

(3) r= R.sinazt^ô^— (R — R,cos«)%

1^ Lieu des centres instantanés M, dans le plan fixe. — Soient x et y les coordonnées du point M, par rapport à deux axes rectangulaires passant par C, dont l'axe des x coïncide avec ce, ; soit CM, r= p et 4^ l'angle de p avec l'axe des x, on a

OM, / 7r\

(4) ÔM=^^"n''"^]'

donc

(5) p = R — rcot«r-R-- R, cosaii:cot« yâ* — (R — R, cos«)%

équation entre les deux coordonnées p et a; il ne reste qu'à éliminer a entre cette équation et la deuxième des équations (i) : on trouve

HR — âcos0) sinô

v/R; — (R — ôcos0)^

qui est l'équation polaire du lieu.

Lieu des centres instantanés dans le plan mobile. — En procédant comme il vient d'être fait et en remarquant que les coordonnées polaires sont p, et a considérées dans le plan mobile, on trouvera l'équation suivante :

p. — R, -V - — V'ô'— (R — R. cos«)^

^ sin« ^ '

139. Problème XXIV. — L^es mêmes conditions étant données que dans le problème XXI ( n" 132 ), déterminer la courbe s de telle sorte que l'angle des deux normales soit proportionnel à l'angle que la droite mobile OM fait avec l'axe fixe [fig. 54).

Conditions du problème, — On a la condilion d{r -^ g) cosme

rdz sinme

laquelle, quand on a égard à la relation ^=9 (s), donne réquation différentielle de la courbe

(2) -1 rcotme -]- 9(e) = G,

qui est linéaire; son intégrale est

(3) rn:: C sin^'^ms — sin'"m£ I 9(5) sin "^mede;

cette équation est celle de la courbe s rapportée à la courbe ocomme courbe des pôles. Il faut y joindre les relations angulaires

(4) ar=mz, e =: « -h £, e = (m-4-i)£. Équation naturelle de la courbe. — On a les relations '

dfi r r

de sma sinme

or si, pour abréger, on représente par F(£) le second membre de l'équation (3), on a les équations

' ' de s\na .m

sin e

dont la dernière est l'équation naturelle de la courbe.

Courbe lieu des points M, dans le plan mobile, — Soient MM, le rayon vecteur p et 4* l'angle de ce rayon avec la droite MO, on a

rr=psina,