CHAPITRE TII. — DES COURBES PRODUITES, ETC. 29I

et, par suite,

sin

sera l'équalion du lieu des points M, dans le plan mobile.

Pour avoir l'équation du lieu en coordonnées rectangles, soient MO l'axe des x et une perpendiculaire menée par le point M à celte droite l'axe des y, et x' , y' les coordonnées du point M, par rapport à ces axes; on a

^' -^OM, j' = OM,;

donc

(8) x' ^^Y{z), ^rrrcotme

donnent les coordonnées x', y' en fonction de la variable e. L'élimination de e entre ces deux équations donnera Téquation du lieu en coordonnées rectangles.

140. Solution analytique du problème IV. — Conservons la notation exposée au n° 115. Rapportons la courbe C, lieu des centres instantanés dans le plan mobile aux courbes ilb, ift)i, développées des courbes v, v, situées dans le plan mobile; les coordonnées du point de la courbe C, par rapport à ift) seront p et £, et, par rapport à la courbe ilbi, elles seront p„ g,. De même, si l'on rapporte la courbe C, lieu des centres instantanés dans le plan fixe, aux courbes B, B, développées des courbes n, «, situées dans le plan fixe, les coordonnées seront r, e par rapport à la courbe B, et r,, e, par rapport à la courbe B,. Cela posé, si l'on se reporte au n" 115, on déduit des équations (v) et {n) les relations

( I ) pdî -=- r de, p, dst rzz r, dex,

et les deux suivantes :

(2) pH-rr-cp(£)-4-/(e), p, -h rr-^ (piies) -+-/(e.);

or les quatre angles e, ^1, e, e, sont tels que trois sont fonctions du quatrième. En effet, si l'on représente par ^, yj, Hi, vj, les coordonnées rectangulaires des points de contact E, E, des courbes v, Vi avec les courbes n, tii, et par x, 7, .r,, j, les coordonnées des mêmes points de contact en tant qu'appartenant aux courbes w, w,, les premières coordonnées par rapport à deux axes O'x^^ O'f' situés dans le plan mobile, les secondes par rapport à deux axes Ox, Or situés dans le plan fixe, on a

/ I =ycos£ da, 73 =/sin£ da;

\ Pi = fcosSidfTy., Yh= fsinsidŒi;

1 x^=fcose ds, j =:/sin^ ds;

\ Xi=fcoseidsi, ^i =^fs'iï\eidsi.

La distance EE„ suivant qu'elle sera exprimée dans l'un ou Tautre système de coordonnées, donnera deux valeurs D ou A qui devront être identiques; on a donc, outre l'équation

(4) e, — e = £, — £, l'équation suivante :

Appelons t et ^ les angles que la ligne EE, des points de contact fait avec l'axe des O'x' dans le plan mobile et avec l'axe 0^ dans le plan fixe, il est évident que l'on aura la relation

et comme on a

Tn — n

COSt- ^ , COST= ^ S

on aura, en prenant les cosinus des deux membres de l'équa