INTRODUCTION. XXV

ne contestons pas le puissant parti que l'on peut tirer des coordonnées élémentaires d'une courbe pour trouver ses coordonnées rectilignes; on peut même généraliser la solution de cette question, comme le lecteur verra que nous l'avons fait dans le courant de cet Ouvrage; mais ce genre de coordonnées nous paraît avoir son véritable rôle lorsque l'on veut étudier toutes les affections de la courbe d'après son équation naturelle; aussi est-il entièrement dans notre but de montrer les avantages de cette équation.

D'abord, comme nous venons de le montrer, elle détermine complètement la courbe; elle fait aussi connaître d'une manière facile les différentes grandeurs intimement liées avec la courbe elle-même. La tangente en un point est donnée par la déviation intégrale, laquelle n'est autre chose, dans le cas des courbes planes, que l'angle de l'élément que l'on considère avec l'élément initial. Le rayon de courbure est donné par le rapport différentiel de l'arc à la déviation; la longueur de l'arc par l'intégrale de l'expression de ce rapport multiplié par la déviation; le double de l'aire que balaye le rayon de courbure par l'intégrale du carré de ce rapport multiplié par la déviation; l'angle de contingence de la courbe n'est pas distinct de la déviation élémentaire elle-même; les segments interceptés sur la tangente et la normale par une ligne déterminée s'expriment non moins simplement en fonction de ce rapport, de sorte que tout ce qui intéresse la construction de la courbe dépend d'une fonction simple de ce rapport.

Nous avons déjà montré, dans notre premier Livre, avec quellefacilitél'équationélémentairedelacourbedécide laqueslion, si difficile dans toute autre analyse, de l'identité de deux courbes, et qu'elle donne un critérium infaillible; comment elle résout le problème de la classification des lignes par la variation des constantes qui entrent dans l'expression du rapport différentiel de l'arc à la déviation; comment elle dévoile, entre des courbes en apparence très-éloignées, des affinités intimes qui ne dépendent nullement du degré de l'équation cartésienne de ces courbes, puisque ces affinités existent même dans le cas où l'une de ces courbes est algébrique, et l'autre transcendante ; comment enfin elle donne des