CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

Une quelconque de ces formules permettra de construire géométriquement le segment A^ de la /i'^'"* courbe lorsque les autres courbes seront connues, et de là on déduira le rayon de courbure de la /z'^'"*' courbe qui sera AR.

Corollaire général. — Toute l'analyse précédente existe lorsque les rayons vecteurs sont comptés sur les génératricesd'une surface conique quelconque à partir du sommet 0 de ce cône, et que les n courbes données sont des courbes situées sur cette surface; la seule différence à signaler est que les rayons de courbure des courbes planes deviennent les rayons de courbure géodésique des courbes coniques par rapport au cône qui les contient.

155. Formes particulières de lafonctionF. — i° Si la fonction est une somme de fonctions ne dépendant chacune que d'un seul rayon vecteur, on aura

l'équation {n) devient

[n] 2rcp'(r) cota := G,

et les équations (R'), (R'') deviendront

2° Si la fonction F est homogène du degré m, on aura

et, par suite, l'équation [R'] prendra la forme

,d¥ ''' dn V^ d f d¥

^Rsin^a,- Zj^''

, / „ . — , ., cota; cota, -y- [ri , [W] ' Zj r sm^a,- Zj drj \ dri

col^ oci ri -r- -+- ma.

3° Si F étant homogène est de la forme ^^(r), réq«ation(R) devient

que Ton peut écrire sous la forme suivante :

T^-mii"^'"»

ma.

Ces différentes expressions nous serviront à résoudre quelques questions inverses de celles que nous venons de poser.

156. Cas particuliers. — Premier exemple, — Soit la forme de F donnée par l'équation

( r) F == V, rf 1 + V2 v^s H- . . . = 2 vr"' = a,

dans laquelle les v sont des constantes différentes entre elles, ainsi que les m; on obtiendra, d'après le n° 152 et le n° 153, les équations suivantes :

{n') 2mvr'"cota — o, 2mvÔN. r'"-* =:; o;

l > ,, . . = > my(m 4-i)r'"cora -+-> mvr'"

i V|^ mv(m -f- i)r'" ^

( ~~Zj si n'a 2^4

m^vr".

Les équations (v) du n° 154 deviennent

(v) Itivmy r"'-^ =:LOnm^vr"'~\ I.mv{nv ~ mOn)r""-^ ^= o;

conséquemment on obtient

i N Ovmvr'"-'r=\ j^ m{m -h i)vr'"

( = > 0/i.m(m + i)vr'"-'.

1° Soient les constantes m égales entre elles et ayant — i