CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

pour valeur commune, l'équation {n') devient

in")

V' 1^ cota

Soit T {Jig. 63) rinterseciion d'une tangente quelconque

Fig. 63.

avec la perpendiculaire au rayon vecteur, on a

OA

OT

= cota;

par suite l'équation (n") prend la forme

Donc la tangente à la /n'^'"« courbe est donnée par la division harmonique.

La formule ( R ) du présent numéro, en y remplaçant a par - >

devient

^ H sin^a a

Si l'on projette le centre de courbure d'une courbe sur le rayon vecteur, cette projection sur le rayon de courbure et celte dernière projection sur le rayon vecteur, en appelant P cette projection, on a

Donc le rayon de courbure d'une courbe, lorsque les rayons de courbure des autres courbes sont connus, se construit par les moyennes harmoniques.

Si n — I courbes sont des droites, l'équation précédente donne

V= va;

donc la ai'^""* courbe est telle que la troisième des projections successives du rayon de courbure sur la direction du rayon vecteur est constante.

Si a est nul, la w'^'"^ courbe est une droite.

157. Cas où les constantes sont égales à l'unité. — i° Si les constantes v et m ont la même valeur commune égale à i, on a

Pour réaliser la liaison des rayons vecteurs d'après la loi actuelle, il suffit de concevoir une règle rectiligne Om tournant autour d'un point fixe 0, et n points A,, As, A3,..., A„ assujettis à glisser sur celte règle, et dont les n — i premiers sont de plus assujettis à glisser sur n — i courbes; si l'on conçoit un fil de longueur constante fixé en 0 par une de ses extrémités, s'enroulani autour du premier point et de 0, autour du second point et de 0, et ainsi de suite jusqu'au n'^'"^ point, et fixé finalement par sa seconde extrémité en 0; si une force exercée sur le n'^""^ point tient ce fil constamment tendu pendant que la règle tourne autour de 0, la courbe décrite par le j^ième point A„ sera conjuguée des n — i courbes données d'après la loi

on a les équations

(n) 2rcota~-o, 20N~o;

donc la somme algébrique des sous-normales est nulle, ou, ce qui est la même chose, le centre des moyennes distances des extrémités des normales par rapport au pôle 0 coïncide avec ce pôle.

L'équation (R) du n° 156 devient

^Ksin^a"^ sin'a ^

or les formules (v) donnent (^^.64) 2/1 1. ~- 20/1,

Fig. 6/,.

conséquemment les formules (R,) du même numéro deviendront

e|x,oi=.2o..

Si le nombre des courbes se réduit à deux, on a

0 (n) ON, -f-ON,^o,

T» N O1H -h Ot2 ^ ^

158. Les constantes v et m sont égales entre elles et à — 1. — Dans ce cas, on a l'équation

''^Sf'-^'

l'équation (n) s'écrit sous l'une des deux formes suivantes

in cota V^ i

donc la somme des inverses des aires des triangles rectangles, tels que OAT, qui ont pour côtés de l'angle droit la sous-tangente et le rayon vecteur, est nulle.

L'équation (R) du n° 156 devient

^^^ 2ur{^sm'a)^'~2j rr ^ Zu'r''

que l'on peut écrire de la manière suivante, AI étant une moyenne proportionnelle entre r et Rsin'a :

^Af"-^(3Â' Zgx''

qui se construit d'après les règles du Chapitre I du Livre 1.

159. Les constantes m et v sont égales entre elles et à i. — On a alors

les équations ( Al) donnent

(ai) Ir^cota^o, lONxOA^-o;

donc la somme algébrique des triangles tels que AON est nulle. D'une autre part, les équations (R,) du n° 156 donnent la relation

(R) 2;O^.OA=^:320ai.OA.

Les formules [n) et (R) donnent les lois d'après lesquelles les normales et les courbures sont conjuguées.

Si l'on multiplie par — l'équation F, que l'on intègre entre

wo et 0),, et qu'on représente par m,, «2, . , w„ les aires cor-