CHAPITRE y. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

Tout plan qui passe par le point 0 est lui-même son transformé.

Deux plans quelconques ont pour transformées deux surfaces de révolution du second ordre ayant même foyer, et dont les plans directeurs font entre eux le même angle que les plans donnés.

3° La transformée d'une droite est une conique dont le foyer est en 0 et dont la directrice est la symétrique de la droite donnée par rapport au point 0. La parallèle menée par le point 0 à la droite partage la conique en deux arcs, dont l'un contient les points transformés de première espèce et dont l'autre contient les points transformés de seconde espèce.

Toute droite passant par le point 0 est elle-même sa transformée.

Deux droites quelconques ont pour transformées deux coniques de même foyer et dont les directrices font entre elles l'angle des deux droites données.

4° Une courbe située sur une surface a pour transformée la courbe d'intersection de la transformée de la surface avec le cône qui a son sommet en 0 et qui passe par la courbe donnée.

168. Passage des propriétés d'une figure à celles de la transformée. — 1° Si la propriété est descriptive dans la figure donnée, elle existe aussi dans la figure transformée, pourvu que l'on remplace les lignes par des arcs d'ellipse correspondants.

C'est ainsi que les théorèmes de Pascal et de Brianchon sur l'hexagone inscrit et circonscrit à une conique sont vrais pour l'hexagone curviligne inscrit ou circonscrit à la transformée de la conique, les côtés et les diagonales étant des arcs de conique situés sur la surface de révolution du second degré transformée du plan de l'hexagone donné, les plans de ces arcs passant par le foyer de la surface.

2« Si la propriété est métrique et projective, elle existera dans la figure transformée; mais tout segment, tel que «6, de la figure donnée sera remplacé dans la relation projective par un triangle qui a pour base la distance AB des deux points transformés des points a et 6, et pour sommet le point 0.

C'est ainsi que, le théorème de Désargues sur l'involutioii

des points d'inlerseciion d'une transversale avec les côtés et les diagonales d'un quadrilatère complet donnant la relation projeciive

ab . cb'. a! c' =z a'b'.ac. bc'y

a, a'; 6, b'; c, c' étant les points situés sur les côtés opposés ou sur les diagonales, on aura dans la figure transformée, en représentant par les mêmes lettres majuscules les points transformés, la relation suivante (tr. étant l'abréviation du mot aire du triangle) :

(tr.AOB) X (tr.COB') X (ir. A'OC) = (lr.A'OB')x(tr.AOC)X(tr.BOC).

3° Si la propriété est métrique et non projective, la transformation se fera en remarquant que, pour un segment tel que ab de la figure donnée, p étant la perpendiculaire abaissée du point 0 sur ab, et a et (3 les points d'intersection des rayons vecteurs 0«, Ob avec la sphère de rayon M, on a la formule de transformation

ab. p Ir.AOB ~W~~ccA7fB'

Ainsi soit l'ellipse dont les foyers sont a et 6, et dont n est un point quelconque, si ik est une constante, on a la relation

an + bn =: 2.1f;

si Ton représente par/? et q les perpendiculaires abaissées du point 0 sur an et bn, et v le point où le rayon On rencontre la sphère M, on a la relation

tr.AON ir.BON , ^,

Tangentes. — Soit I le point d'intersection des tangentes au point r et au point réciproque B de la courbe donnée et de la transformée; soit / la projection du point I sur le rayon vecteur Or, on a, d'après l'équation {n") du n° 156, la rela-