CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

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On en déduit la proposilion suivante : La projection du point d'intersection de deux tangentes en deux points correspondants r et^ d'une courbe et de sa transformée est le conjugué harmonique du point 0 par rapport aux points r et R. Ce point n'est autre chose que le point X d'intersection du rayon vecteur Or avec la sphère de rayon 2M.

On obtient par là la règle suivante : Pour construire les tan^ gentes des courbes transformées d'une courbe donnée aux points R, R, correspondants du point r, menez la tangente au point r et les plans tangents à la sphère 2 M aux points X et <Jlo,, où le rayon vecteur rencontre cette sphère; par les points d'intersection I, I, de ces deux plans et de la tangente, tirez les lignes IR, I|R,, ces deux droites seront les tangentes des deux courbes transformées.

Ces deux tangentes se rencontrent en un point N situé sur une perpendiculaire au point 0 au rayon vecteur Or, et sur la symétrique par rapport au point 0 de la tangente en r à la courbe donnée; donc, si dans la construction précédente on joignait les points I, I, au point N, on aurait à la fois les points R, R, correspondants du point r et les tangentes en ces points aux deux courbes transformées.

La construction du plan tangent à une surface transformée d'une surface donnée se fait de la même manière.

Rayon de courbure géodésique, — On appelle courbure géodésique d'une courbe située sur une surface la projection de la courbure de la courbe sur le plan tangent à cette surface. Soient p et Jl les rayons de courbure géodésique de la courbe et de sa transformée aux points correspondants r, R, ces rayons de courbure géodésique se rapportant à la surface conique qui contient ces deux courbes et dont le sommet est en 0 ; soient tt, ^ les projections triples successives de ces rayons de courbure, de telle sorte que l'on ait