INTRODUCTION. XXVII

des rapports élémentaires de la courbe directrice et de sa parallèle. C'est par suite des valeurs entières ou fractionnaires que présente ce rapport que les courbes épicycloïdales sont tantôt algébriques, tantôt transcendantes. Lorsque, la courbe roulante étant toujours un cercle, la courbe directrice est une courbe quelconque, la loi de l'équation élémentaire ne se trouve pas altérée dans sa forme géométrique, bien qu'elle le soit dans sa forme algébrique, parce que certains coefficients, constants dans le premier cas, cessent de l'être dans le second.

Les roulet,tes, qui, depuis Pascal, ont été l'objet de recherches si étendues et si approfondies, ont une équation naturelle remarquable en ce qu'elle exprime que les rapports élémentaires qui caractérisent la courbe directrice située dans le plan fixe, la courbe roulante située dans le plan mobile et celle qui est l'enveloppe de cette dernière dans le plan fixe, satisfont à la relation harmonique.

Les courbes qui sont l'enveloppe d'un rayon lumineux réfléchi ou réfracté, et qu'on appelle caustiques par réflexion ou réfraction, présentent, quand on les exprime parleur équation naturelle, des lois non moins simples, même lorsqu'on généralise ce problème et qu'on suppose que chaque rayon lumineux est lancé normalement à l'élément correspondant d'une certaine courbe.

Nous pourrions multiplier les exemples, mais ce que nous venons de dire suffît pour montrer la fécondité de notre analyse et surtout son utilité, qui apparaît principalement en ce que celte analyse dévoile les liens qui unissent les lignes les plus dissemblables, et qu'elle fait converger vers l'unité les diverses lois qui régissent la Géométrie des courbes. Celte Géométrie se montre alors comme un seul et majestueux édifice où tout est ordonné suivant les règles d'^une architecture sublime.

XIL Et ce qu'il y a de singulier dans cette manière de traiter des courbes, c'est que ce ne sont pas seulement les relations directes qui existent entre elles qui sont rendues apparentes, mais encore les relations les plus cachées, celles