CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

Soil ^ l'angle que le rayon vecteur fait avec l'axe des z, et 6 l'angle que la projection de ce rayon fait avec l'axe des ^, on a

A = ( sin 4» cos 0-1 — h sin i]> sin 0 -7 — f- cos^)^ -j-

L'équation (/) sera celle de la surface rapportée à des coordonnées polaires issues du point 0.

170. Surfaces résultantes, — Théorème I. — Si du point 0{x',f', z') on mène une sécante à une surface algébrique f=: G du degré m, et quon prenne sur cette sécante à partir du point 0 un segment %, qui soit lié avec les m segments r déterminés par la surface, par la relation

dans laquelle k est une constante, le lieu des extrémités du segment x. est une surface algébrique du /i'^'"* degré, quel que soit le degré de f.

En effet, si l'on représente par S,, Sa, S3,. . .,S„ la somme des inverses des premières, deuxièmes,. .., w'*"'" puissances des segments déterminés par la surface /sur un rayon quelconque issu de 0, on aura les relations suivantes :

et ainsi de suite.

On aura donc

d k \^^^"dx ' "^^^ dy

et ainsi de suite.

Or, si l'on appelle X, Y, Z les coordonnées de l'extrémité du segment v et qu'on remplace cosX, cos/x, cosv par leurs va-

leurs respectives ? > -•> on voit que la pre-

X/ Xf x>

mière équation sera du premier degré, la deuxième sera du second degré et la n}^""' du degré ai, quel que soit le degré de l'équation/.

Nous représenterons ces surfaces résultantes par F,, F,, F3, . . . , F„.

171. Théorème II. — On peut tracer sur une surface algébrique f une courbe conique qui détermine sur la génératrice quelconque du cône m segments r,, r,, . . . , r^ liés entre eux par la relation

^ ' Zur" a"

Du centre 0 de la surface conique et d'un rayon a décrivez une sphère; elle coupera la surface F„ suivant une courbe sphérique dont le rayon vecteur sera a. Si maintenant on décrit une surface conique qui ait son sommet en 0 et pour directrice cette courbe sphérique, ce cône coupera la surface algébrique /suivant une courbe conique qui jouira de la propriété [n].

Corollaire I. — Dans le cas où m=:i, la surface conique sera un cône circulaire droit. La courbe d'intersection de ce cône avec la surface/ jouira de la propriété

les tangentes seront liées entre elles d'après la loi [n!') du