CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

n° 155, et les rayons de courbure géodésique d'après la loi donnée dans les n^^ 156 et 168.

Corollaire II. — Si /i = 2, la surface conique aura pour courbe directrice l'interseclion de la sphère de rayon a ayant son centre en 0 avec la surface du second degré donnée par l'équation F2. Cette surface conique, qui jouit de propriétés remarquables, coupera la surface / du degré m suivant une courbe qui jouira de la propriété

Les tangentes et les rayons de courbure géodésique seront donnés par les formules {n") et (R) du n° 156.

172. Théorème III. — Étant donnée une surface algébrique f du degré m et un point 0, on peut trouver un cône ayant son sommet en ce point dont l'intersection avec cette surface soit une courbe telle que les m segments déterminés par cette courbe sur une génératrice quelconque du cône soient liés entre eux par la relation

On cherchera d'abord la surface lieu des extrémités des rayons vecteurs v menés de 0, satisfaisant à la relation

xT " r.r^. . .rm~~ f cette surface est (n° 170 ),

qui est du degré m.

Si l'on coupe cette surface par une sphère de rayon a ayant son centre en 0, l'intersection sera la directrice de la surface conique ayant son sommet en 0, qui coupera la surface / d'après la loi donnée.

35o LIVRE II — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

Les tangentes et rayons de courbure géodésique de cette courbe seront donnés par les formules (/i) et (R) du n° 160.

173. Théorème IV. — D'un point 0[x' , /', z') on mène une sécante à une surface algébrique f du degré m et l'on prend sur cette sécante, à partir du point 0, un segment v qui soit lié avec les m segments r déterminés par la surface, par la relation

le lieu des extrémités des segments v est une surface du degré mn.

L'équation (/) peut s'écrire de la manière suivante :

A"/, m. m — !.. .m — /i-hi. A"'""/!

A"/, m( m — I ) ... I A f, m. m — i . . .1 ft

D'après cela, on a les relations

(l) Kz=S.==: Â^TJp-'

et ainsi de suite.

On voit que, si l'on remplace les cosinus des angles X, fx, v par leurs valeurs