CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

la première équation sera du degré m, la seconde équation sera du degré 2m, et ainsi de suite. Nous représentons les surfaces correspondant à ces équations par $«, ^îm-

On voit que, si la surface / est un plan, les surfaces ÇE>i, $2, #3,. . . seront, la première un plan, la seconde une surface du second degré, la troisième une surface du troisième degré, et ainsi de suite.

Il est facile de voir que le même problème pouvait être résolu dans le cas où, les rayons vecteurs r,, Tî, . . ., r„ étant liés entre eux par une fonction ^ algébrique symétrique de ces rayons, on aurait déterminé le lieu des extrémités du segment t, lié avec les rayons vecteurs par l'équation

v = 4;(r„ r,, rs,. .., tm).

174. Des courbes algébriques conjuguées entre elles. — Traçons sur une des surfaces de la série (F) ou de la série ($) une courbe quelconque C algébrique et formons un cône qui ait son sommet en 0 et qui contienne la courbe C, il déterminera sur la surface / une courbe algébrique C qui sera rencontrée parla génératrice du cône en m points; il y aura donc sur la courbe C m arcs qui seront conjugués de la courbe C, puisque les rayons vecteurs qui seront relatifs à ces m points seront liés avec le rayon vecteur relatif à la courbe C par la relation (t>) ou par la relation {%.'). De là résulte que l'on connaît les lois d'après lesquelles sont conjuguées les tangentes en ces m 4- 1 points, et les rayons de courbure géodésique par rapport à la surface conique qui les contient (n^ 156 et suivants).

Si la courbe C est l'intersection d'un plan passant par le point 0, avec la surface de la série (F) ou de la série {$) que l'on considère, les courbes C et C seront planes; mais les lois d'après lesquelles les points correspondants, les tangentes et les courbures en ces points seront conjugués, seront les mêmes; seulement les rayons de courbure géodésique ne seront pas distincts des rayons de courbure propre.

§ lïl. — Généralisation.

175. Des courbes conjuguées sur une surface développable. Des courbes situées sur une surface développable sont dites conjuguées suivant leurs rayons vecteurs lorsqu'une génératrice rectiligne variable de la surface détermine sur chacune des courbes des points A,, Aj, A3, . . . , A„ tels, que les segments ou rayons vecteurs comptés sur cette génératrice à partir de son point de contact avec l'arête de rebroussemenl satisfont à une relation invariable entre ces rayons.

Si l'on développe sur un plan la surface développable, l'arête de rebroussement et les n courbes se changeront en courbes planes telles que la transformée de l'arête de rebroussemenl sera la courbe des pôles par rapport à n courbes planes.

Les courbes tracées sur la surface et les courbes planes seront liées entre elles par ces conditions, que les rayons vecteurs des courbes planes, les angles qu'ils forment avec les tangentes à ces courbes, les aires qu'ils balayent, les longueurs des arcs n'auront pas changé, et que les rayons de courbure des courbes planes resteront égaux aux rayons de courbure géodésique des courbes tracées sur la surface. D'après ces considérations, l'étude de ces dernières courbes est ramenée à l'étude des premières.

176. Problème V. — Connaissant [fig. 67) la loi d'après laquelle n courbes tracées sur une surface développable sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs comptés sur une tangente à l'arête de rebroussement à partir du point de contact, trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes sont conjuguéea entre elles.

Conditions du problème. — Soient les n courbes planes correspondantes, rapportées à la courbe plane correspondant à l'arête de rebroussement, et soit l'équation

exprimant la loi d'après laquelle les rayons vecteurs r,, Tj,..., r«