CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

soni liés entre eux; en représentant par dz, da, x, l'angle de contingence, l'élément d'arc et le rayon de courbure de la

Fig; 6:

courbe des pôles, en conservant les notations déjà usitées et en admettant toujours que les lettres dénuées d'accent doivent se rapporter à une quelconque des courbes conjuguées, on a les équations suivantes :

/ V dir-^rj) . rde j , . ^J

(i) cosa=— ^— 1 — -y sma=-7-5 dr = [r coi oc — x.) de;

(2) ds = Rde,

de = de — da, d(7=^ï, de.

Lois analytiques des tangentes. — Si l'on élimine de et ds entre la deuxième des équations (i) et les deux premières équations (-î), on obtient la relation

doc = ( ^-4 1 We,

\Rsina ;

et, en ayant égard à la troisième des équations (i), on obtient le rapport de dx à dr, donné par l'équation

r — R sin &

doc

dr R(r cosa — vsina)'

or, si l'on différenlie l'équation (F) et qu'on élimine les dr au moyen des n équations contenues dans le type représenté par la dernière des équations (i), on aura la relation suivante :

cola.

Interprétation géométrique. — Si l'on représente par A le point où le rayon vecteur r coupe la courbe s, 0 son point de contact avec la courbe des pôles, et N le point où la normale à la courbe s coupe la normale à la courbe c, x. le centre de courbure de cette dernière, n le point, pris sur le rayon vecteur, qui se projette en N sur la normale à la courbe 5, et t, le point où une droite menée par le centre de courbure parallèlement à N/i rencontre le rayon vecteur, on aura les relations

ON=:OAcota, 0/i = rcot2ar=ONcota;

d'après cela, l'équation (n) s'écrit sous la forme suivante :

Cette équation donne lieu au théorème suivant :

Théorème. — Si n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs comptés sur une tangente à une courbe à partir du point de contact, que par le centre de courbure v de cette dernière on élève une perpendiculaire au rayon de courbure sur laquelle on construise, à partir du point x, et pour chaque courbe, des longueurs vF proportionnelles à la dérivée de F par rapport au ray^on correspondant, et que l'on construise la série des triangles rectangles dont l'un aurait une de ces longueurs pour côté de l'angle droit et le segment Nï. pour second côté, la somme algébrique de ces triangles sera nulle.

177. Problème VI. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent , trouver la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des n courbes.