CHAPITRE V. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

Prenons la différentielle de l'équalion {n) ei éliminons les dr au moyen des équations renfermées dans le type fourni par la troisième des équations (i) et les da au moyen des équations données par le type (4), on trouve la relation

dF

rfF >dn d f dV\ d'¥

+ J( 0 cot., - . ) [cot«.. ^ (r,. ^ ^ . ^^ ^^^

dans laquelle les indices i et 7 doivent prendre toutes les valeurs, depuis I jusqu'à n, et dans laquelle %,' est la dérivée de v par rapport à s, ou bien du rayon de courbure de la développée de 0-.

Si la fonction F est telle que sa dérivée par rapport à Tune quelconque des variables r ne dépend que de celte variable, il faut faire l'indice i égal à l'indice 7', dans l'équation que nous venons de trouver, ce qui permet de supprimer ces indices, et l'équation peut s'écrire sous la forme suivante :

V N^ dr V r d f d¥\ dFl

z H sw ^z r''' d? V -d?)^'-d?\

^'1^-^Zd?'

Telle est l'équation qui donne la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure des courbes s, et l'on voit qu'elle dépend de la courbe a- et de sa développée.

178. Problème VII. — n courbes sont conjuguées entre elles suivant leurs rayons vecteurs d'après la loi

(F) F(r, -f- (T, r, -h(T,...,rr.-h(7) — a,

trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes sont

conjuguées, ainsi que la loi d'après laquelle les rayons de courhure sont conjugués entre eux.

Si l'on différenlie l'équation (F) et qu'on élimine les «f(r-4- g) au moyen des équations (i) du n° 176, on obtient la relation

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