ON

Si l'on différentie cette dernière équation par rapport à [r-{-(j) et qu'on élimine les d{r -\- a) et les dcr., on aura l'équation

R sin^a,

= > - — -V-, -+- y n cota/ COtay -77 r H-j- ■ ;

si la dérivée de F par rapport à l'un quelconque des binômes (r-^ g) ne dépend que de ce binôme, on a

dr d¥ d'-F

et les équations (i) donnent

dr -v cota — r r

d{r-\-(7) vcota vcota'

on aura donc la relation suivante :

dF ^

(H) [^ Rsin^a ^ L d{r-^(T) d(r-h(j)J

^y : (/' — t. cota),

que l'on peut écrire sous la forme suivante, en représentant par At: [fig. 67) une troisième proportionnelle à N et la pro-

jeclion de R sur le rayon vecteur :

yA.-^=y(..o«+oA-o.,);^

^j a{r-i-(7) Zu ' d[r -^

rf'F

Si Ton remarque que Ton a

0^1 = 0^ cota, Oî.1 = Ow — /it^i, cette équation devient

> (ait: H- nv,)-7- zzr>r.O/i-j^ ;

L'équation [n) conduit à un théorème analogue à celui du n° 154, et l'équation (R) à un théorème analogue à celui du n« 155.

Extension de la méthode précédente, — Soit S' l'origine de«rarc o* terminé au point de contact 0. Si l'on développe l'arc S'O de manière à le ramener sur la tangente au point 0, l'extrémité S' décrira une développante (o-) de la courbe o-. D'après cela, on voit que les n courbes conjuguées par rapport à la courbe des pôles, d'après la loi F -— «, sont conjuguées par rapport à la courbe (c) par la condition que les segments ou rayons vecteurs /?,, /?2,. • ., interceptés sur une normale quelconque à la courbe (a) par les n courbes 5,, Sj,. . ., Snt sont conjugués d'après la loi

F(/?.,/?2,. ..,pn) — a;

on a donc la solution de la nouvelle. question suivante :

Problème VIII. — Étant donnée une courbe (o-) et n courbes s, si les segments /?,, pi,. . ., pn interceptés sur la normale à la

première courbe par les n autres courbes sont conjugués d'après la loi

trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces n courbes sont conjuguées entre elles, ainsi que la loi qui lie leurs rayons de courbure,

La conslruction de la tangente et du centre de courbure de l'une des courbes, quand on connaît la tangente et le centre de courbure des autres courbes, est aussi donnée par les formules du numéro précédent.