I AO

S'S~OT.AS" d'après cela, l'équation (n) prend les formes

I\ - — — cota = G, ^ r -h Œ — .

, Zj S'S ~2j OT. AS' ""Z AS' —2a AS ~~ ^* L'équation (R) du n" 178 devient

iy-^ ^

] ^ H sin^a a -{- r (R) <

i V^ 2rcos^a V^ r — t- cota V^

( ~Zj (r-h (T)sin^a ~Zj r-{- (j 2^ ( r -h œ]'

r^ col'a

lesquelles donnent la construction de la normale et du rayon de courbure de l'une des courbes conjuguées au moyen des autres courbes.

180. Problème IX. — n courbes sont conjuguées par rapport à un pôle 0 d'après la loi

■ trouver la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure et les rayons vecteurs.

1° Si l'on différentie l'équation F, et qu'on élimine les dr et les day on aura l'équation

V f(i^ \^ dF f r \

(R) 2, -^ '^'^ ^Z ^ iRiirTa - V ^ "^

36o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

OU bien, en se reportant à la^g*. 67, les deux relations V dF ^^, V dF /AN \

qu'il est facile d'interpréter géométriquement.

Les équations (R), (R,) donnent la loi d'après laquelle les rayons de courbure des lignes 5,, ^j, . . . , 5„ sont conjugués.

2° Si, dans l'équation F (r, a,,..., r„a„) = o, on porte r, a,,..., r„, a„,, tirés de l'équation des (/i — i) courbes connues en fonction de l'angle w que la ligne des rayons vecteurs fait avec l'axe Ox, on a une équation de la forme suivante :

o(w, l\CC„) =:r O;

or on a la relation

drn ^

— V- = coixn;

si Ton élimine a„ entre ces deux équations, on aura une équation de la forme

qui, étant intégrée, donnera l'équation de la n'''"" courbe. Cela posé, si l'on porte les a en fonction des r correspondants dans l'équation F, on aura la loi d'après laquelle les rayons vecteurs des courbes 5,, s^,. . ., Sn sont conjugués.

Remarque, — Un terme quelconque des équations (R) de ce Chapitre ne dépend d'un seul indice que lorsque la fonction F est telle qu'une quelconque de ses dérivées ne dépend que d'une seule variable. La fonction /du n° 100 a été supposée satisfaire à cette condition, comme l'indique la forme de l'équation des rayons de courbure de ce numéro.