DES COORDONNÉES EN GÉNÉRAL

181. Coordonnées d* un point. — La définition d'une courbe donne une relation entre un point quelconque de celte courbe et une ou plusieurs grandeurs géométriques, appelées paramètres, La variation d'un paramètre déterminé p donne une série infinie de courbes q-ui occupent tautes les positions possibles; si l'on se donne une seconde courbe dépendante d'un paramètre pi, on aura une seconde série de courbes en donnant à pt toutes les valeurs possibles; un point quelconque du plan qui contient ces deux séries de courbes sera déterminé par l'intersection'de deux courbes correspondant à des valeurs déterminées de p et de p,. Ces deux valeurs sont les coordonnées du point, et les deux familles de courbes (p) et (p,) forment un système de lignes coordonnées. Généralement, l'angle sous lequel se coupent les lignes coordonnées n'est ni droit ni constant : il varie avec la position du point, il est une fonction des coordonnées p, p,.

182. Problème. des coordonnées, — Soit un point assujetti à parcourir une courbe quelconque située dans le plan des coordonnées; si l'on étudie les diverses positions de ce point dans le plan, les déplacements de ce point ont des liaisons nécessaires avec les déplacements des lignes coordonnées; il en

résulte des relations entre les tangentes, les courbures de la courbe et les tangentes, les courbures des lignes coordonnées, et, plus généralement, entre les éléments de la courbe et les éléments correspondants des lignes coordonnées. Le problème des coordonnées curvilignes consiste à faire connaître ces relations, qui, au point de vue géométrique, sont des théorèmes importants de la Géométrie des courbes, et, au point de vue analytique, sont des formules précieuses de transformation des variables.

183. Tangentes aux lignes coordonnées. — Paramètres différentiels. — Si l'on considère [fig. 68) sur la ligne p, de la

Fig. 68.

série ( p, ) deux points infiniment voisins A, B correspondanlaux valeurs p et p -f- ^p de deux courbes de la série ( p ), la direction de la corde AB qui joint ces deux points donne la direction de la tangente de la ligne pi, et cette corde donne la longueur de l'arc de la courbe pi compris entre ces deux points; si l'on appelle da cet arc, il aura en chaque point un rapport fini avec dpy puisque da et d^ sont des infiniment petits du même ordre; donc, en représentant par H ce rapport, et en opérant de même sur la courbe p dont l'élément sera appelé ddx et le rapport de û^o-, à û?p, sera représenté par H,, on aura les deux relations suivantes :

(i) c?G- = Hû?p, é/(T, = H, o?p, ;

les grandeurs H et H, sont appelées paramètres différentiels des lignes coordonnées. Nous représenterons par d^^ J,, ou bien par rfp, d^^ les différentielles partielles par rapport à p ou à p,.