CHAPITRE I. — DES COORDONNÉES EN GÉNÉRAL

!a lettre d indiquant une différentielle complète, de sorte que l'on a d = do-i- di symboliquement.

L'angle 9 des lignes coordonnées sera l'angle des deux éléments d(7, ddi, ou bien des deux normales driy drii aux deux lignes coordonnées.

Un chiffre entre parenthèses, placé à droite d'une équation, indiquera le nombre d'équations qu'elle contient et qui s'en déduisent par la permutation des indices.

iSk. De la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. — L'angle I de deux tangentes à la courbe d(j menées par les deux extrémités de cet élément est l'angle de contingence propre de la ligne do-^ et l'angle J des deux tangentes aux courbes infiniment voisines de l'autre série menées par les extrémités du même élément do- est l'angle de contingence inclinée du même élément, suivant les tangentes aux courbes de l'autre série; le rapport de l'angle I à l'élément f/oest la courbure propre de la ligne d(7, et le rapport de l'angle J à d(T est la courbure inclinée de la ligne da suivant la courbe dai. La direction de ces deux courbures est donnée par l'arc de cercle infiniment petit qui mesure les angles I et J. Les rayons de courbure propre ou inclinée des lignes coordonnées sont donc connus en grandeur et en direction. Nous représenterons par R, R, les premiers et par L, Li les seconds. D'après cela, si nous nous reportons au problème du n° 53, relatif à la développée oblique d'une courbe da-j suivant l'angle variable 9 des lignes coordonnées, le rayon tangentiel r de cette développée oblique est perpendiculaire au rayon de courbure inclinée L de la courbe da, et, de plus, ces deux rayons sont liés entre eux par la relation

f ^ sin9 I

185. Des composantes obliques des courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées. — On est souvent conduit à composer ou à décomposer deux courbures suivant la règle du parallélogramme des forces; voici comment se fait cette composition :

364 LIVRE m. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

Composition des courbures. — Soient {fig» 69) deux cour-

bures — 5 - appliquéesau point A suivant les directions AB, AC ; il L

supposons que ces deux courbures, que nous représentons par ABi, AC„ aient été composées en une seule AD, suivant la règle du parallélogramme des forces. Si du point B, on élève la droite B, F égale au rayon de courbure R, perpendiculaire à ce rayon et du même côté que l'angle AB,D, et aussi la droite B,E égale au rayon de courbure oblique L, perpendiculaire à la direction de ce rayon et du même côté que l'angle DB, A, et qu'on mène des points F et E des perpendiculaires à ces deux droites, elles déterminent les points A et D; joignons AD; l'inverse de la perpendiculaire abaissée du point B, sur AD sera égale à la résultante des deux courbures et perpendiculaire à sa direction. En effet, d'après la relation qui existe entre les trois hauteurs du triangle AB, D, on a

- I II cosA

b.g' Bie' b.e' b.fxb.e

or, d'une autre part, les côtés du triangle AB,D sont inversement proportionnels aux hauteurs correspondantes; de là résulte que ce triangle n'est pas distinct du triangle des forces. Donc les courbures se composent comme les forces.

Ce théorème fournit donc le moyen de calculer les courbures et réciproquement.

Composition des angles de contingence» — Puisque l'on passe des courbures, soit propres, soit obliques, d'un arc aux