CHAPITRE I. — DES COORDONNÉES EN GÉNÉRAL

angles de contingence correspondants en multipliant ces courbures par l'élément de la courbe da, toute équation homogène qui existera entre les courbures d'un arc existe aussi entre les angles de contingence correspondants; de là résulte que l'on peut composer et décomposer les angles de contingence, soit propre, soit inclinée, d'un arc suivant la règle du parallélogramme des forces.

186. Composantes obliques des courbures suivant les arcs coordonnés, — Soient -? 7; -5 -r les composantes obliques

des coui-bures r:? 77-5 d'après la règle du parallélogramme des

forces, suivant les arcs coordonnés; soient 7' T/* 7' F ^^s

composantes des courbures |r, — » suivant les mêmes arcs;

xj -Lit

on a les relations

.. I smcp sino i smcp i

^^' H" t.cos9~~ v' ' L~ fcoscp "" /COS9

De même, si l'on représente par /, i'; /,, i\ les composantes obliques des angles de corîtingence I, Ii, suivant les arcs coordonnés é/o-, ddiy et ii2ivj,f; j\, fi les composantes obliques, suivant les mêmes arcs des angles de contingence inclinés J, J, , on aura les relations

(4 I— — ; - = i'sino, i=—j' -nr/smo. (2)

^^ ' COS9 *' coscp "^ ^

187. Variation de V angle des lignes coordonnées. — Par les extrémités A, C de l'arc da [ftg, 70), menons des tangentes à cet arc, ainsi qu'aux deux arcs de l'autre série de coordonnées qui passent par ces points, nous formons un quadrilatère dont les angles sont 9, 180 — 1, 180 — 9 — ^^09, J; or la somme de ces angles est égale à 36o degrés; on aura donc la relation

et, en divisant par da, on aura la relation fondamentale

Elle n'est pas distincte de celle que nous avons trouvée dans les systèmes tangentiels de coordonnées (Chap. III, n° 47).

Ces formules sont générales, pourvu que les angles J et I soient comptés positivement ou négativement, suivant que les

Fig. 70.

parallèles menées du point A à la tangente BC et à la tangente CD se trouvent d'un côté ou de l'autre, la première par rapport à la tangente AB, la seconde par rapport à la tangente AD.

188. Expression de l'angle de courbure d'une courbe coordonnée da en fonction des variations des arcs coordonnés.

Problème. — Un point quelconque A {Jig. 7 1 ) d'une courbe da subit un déplacement AB dans une direction donnée par une certaine loi, de telle sorte que le lieu des points B est une certaine courbe; trouver l'expression de V angle de contingence I en fonction de la variation de l'arc da et de la variation du déplacement AB.

AE, EA' sont deux tangentes infiniment voisines à la courbe da; A'N est perpendiculaire à A'E, A'M, à AE; AT est parallèle à AB^ fx est le cosinus de l'angle EAB; û?o-, est le déplacement AB ; A'B' le déplacement infiniment voisin;