CHAPITRE I. — UES COORDONNÉES EN GÈNIRAL
(/, représente la variation. Cela posé, les deux triangles A' ME, M, A'N donnent
anglel
A'M M.N M.B— B'N MJ-f-TB-NB'
or
NB' = — ^</(T, — doiiJ^chi), A'N — - Jo-, sin9;
subsliluanl, on a (6)
, did<T — doifj. dd^ )
d(j, sincp
Cette formule est tout à fait générale et se rapporte à un déplacement Je, quelconque; on peut donc admettre que ce
Fig. 71,
déplacement est l'arc de courbe coordonnée o-, compris entre deux courbes infiniment voisines de la série (o-).
On pourra donc écrire la formule précédente sous la forme
,n,. . d(T de, 1 d /d(j\ d I d(T\ , .
Si le déplacement c/o-, est parallèle à une direction fixe, par exemple à l'axe des ^, on aura les relations
doc , J, r/(7 = o, ros ©:=—-?
ddi = dx:= dpi.
368 LIVRE m. - COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.
el la formule deviendra
ros(R,r/.r^ d fdx\ dp
il '~d'p\d^)di' ^^^
laquelle donne l'angle que le rayon de courbure fait avec l'axe des x; on trouverait une formule analogue pour l'axe des r*
189. Expression de la courbure inclinée d'une ligne coordonnée suivant Vautre ligne. — Si dans la formule (6') on
remplace r^ par sa valeur tirée de la formule (5'), on aura
( 7' ) r/o-, Y sin <p = cos 9 d„d>7^ ~ d, di. [ 1 )
On déduit de l'équation (6') que, si la série (p,) des lignes coordonnées se compose de lignes droites, l'autre série se composant dç lignes quelconques, on a l'équation
(6'0 d[d(7^d,{c,osQd(i,).
Donc, si la série (p, ) se compose de lignes droites, les variations par rapport aux paramètres réciproques de l'élément de l'arc d'une ligne de la série et de la projection de l'élément d'arc de la ligne de l'autre série sur la première sont égales. La formule (7') peut aussi s'écrire sous la forme suivante :
Les formules (6) et (7) sont fondamentales : elles renferment de nombreuses propriétés, que nous développerons dans le courant de ce Chapitre.
190. Variations des arcs coordonnés, — Si Ton résout par rapport à d^d^x et rf, d(j les deux équations contenues dans le *^yp6 (7), on a les deux relations contenues dans le type suivant :
(8) — sin(p</„r/c, == J,r/(T H- .T cosqjr/o-,, (2)
