CHAPITRE I. — DES COORDONNÉES EN GÉNÉRAL

OU bien dans le type

(8') — sin cp do drs, ~. ( y H — ^ jâddar, (2 )

or, si l'on représente par dû) l'aire du quadrilatère dont les deux côtés contigus sont Jo-, c?o-,, et par ^j ^ les projections

orthogonales de la résultante des courbures y-? -p- surla direc-

Li JL|

tion de ces courbures, la variation de l'arc est exprimée d'une manière aussi simple que significative par le type suivant :

si l'angle <^ était constant, on aurait

Q, , , / I cos9\ d(Td(T,

si cet angle était droit, on trouverait

(8") -d,da, = '^; (,)

Enfin si, de plus, la série des lignes (p) était composée de lignes droites, la formule précédente donnerait la relation

dg dcTi =-- o,

laquelle signifie que, la variation de l'arc da-i étant nulle par rapport à p, l'élément da^ sera le même pour toutes les valeurs de p; ce qui conduit à ce théorème connu :

Les trajectoires orthogonales d'un système de lignes droites interceptent sur ces lignes des longueurs constantes.

La réciproque de ce théorème est également vraie; car si les lignes d'un système coupant orthogonalement les lignes d'un autre système interceptent sur celles-ci des longueurs constantes, leurs variations sont nulles; donc l'équation (8'^)

prouve que ^ est nul pour tout point d'une de ces lignes, et

que, par conséquent, ce sont des lignes droites. Ces propriétés ont déjà été démontrées dans la théorie des développées des courbes.

191. Fariation des angles de contingence propres ou inclinés des lignes coordonnées. — On a les deux relations

d(7 da-x

si Ton différentie la première par rapport à p, et la seconde par rapport à p, en ayant égard aux formules (8"), on trouve les deux équations contenues dans le type suivant :

(9) </,i^rf^rf^,[-^(i)j-^].

En opérant de même sur les deux relations

on obtiendra les deux formules contenues dans le type

(.0) dj^M.,[±{£)-,^Y (^)

si les coordonnées se coupent sous un angle constant, on aura

enfin, si l'on représente par ^' une fonction quelconque de l'angle des coordonnées 9, on aura généralement dans le cas de 9 quelconque les formules