DES LIAISONS ENTRE LES VARIATIONS DES COURBURES

192. De la double variation de l'angle des lignes coordonnées. — Nous avons trouvé les deux équations

(i) c?o9 = J — I, û^i 9 — Ji — !..

Si Ton prend la variation de la première par rapport à p, et celle de la seconde par rapport à p, on obtient

de là on conclut les deux théorèmes suivants :

1° La double variation de l'angle des lignes coordonnées est égale à la différence des variations des angles de contingence propre et de contingence inclinée d'une courbe coordonnée par rapport au paramètre correspondant à cette courbe,

2° Les sommes des variations de l'angle de contingence propre d'une courbe et de l'angle de contingence propre de sa conjuguée par rapport aux paramètres correspondant à ^ ces courbes sont égales,

193. Propriété de l'octogone infinitésimal des tangentes, — Menons des tangentes {fig. 72) aux sommets du quadrilatère curviligne formé par deux courbes d'une série infiniment voisines, coupées par deux courbes de l'autre série infiniment voisines ; on obtient ainsi un octogone recliligne dont la somme des angles est connue; or, si l'on remarque que les angles de ce polygone sont

9, TT — I, TT — 9— DoCp, I -f-DoI -l-TT, 9 4- D9, I + ^,1-4-77, TT — 9 — D, 9, 7: — I,

et que la somme des angles de ce polygone est égale à autant

Fig. 72.

de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux dans le polygone, on aura

^9 — Do Cp — t), 9 -h Do II H- Di I rrr o ;

si l'on développe les variations négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on trouve

( 2 ) — do di (^ = doit ~h dyl;

si l'on a égard aux équations (i), celte formule conduit à la relation suivante :

(3') dodic^ = doh -h di J,

et, conséquemment,

do{h -f- II) -+- d, (J, -4- I) = G,

^^^ ' 6/o(J. -I.) + âf,(J - i)=:z2dod,(^.

194. Conséquences et transformations, — On déduit des deux formules précédentes ce nouveau théorème :

3° La double variation de l'angle des lignes coordonnéesest égale à la somme des variations des angles de contingence propre, ou des angles de contingence inclinée suivant leurs paramètres réciproques»