CHAPITRE II. — DES LIAISONS ENTRE LES VARIATIONS, ETC

Si les lignes coordonnées se coupent sans angle constant, les formules (3) et (3') deviennent

do I, H- ^, I r= O, 6^0 Ji + û?, J = G.

Donc on a la proposition suivante :

k° Dans tout système de coordonnées curvilignes à angle constant, la somme des variations des angles de contingence propre ou des angles de contingence inclinée, suivant les paramètres réciproques, est nulle.

Si une série (p,) de lignes coordonnées se compose de lignes droites, on a l'équation

— d, di 9 = do I,

laquelle conduit à la propriété suivante :

5° Si deux séries de lignes coordonnées sont composées de lignes droites, la double variation de V angle des lignes coordonnées est égale à la variation de V angle de contingence des lignes de Vautre série, suivant le paramètre réciproque.

Si l'on rapproche la deuxième des équations (2) de la première des équations (4), on trouve les deux équations

I dj -(-J0I. — o,

qui conduisent au théorème suivant :

6* La somme des variations de l'angle de contingence d'un arc et de l'angle de contingence incliné de Varc conjugué par rapport aux paramètres réciproques est nulle,

195. Applications. — Problème. — Trouver les conditions pour qu'un système de coordonnées jouisse de cette propriété, que la somme des variations des angles de contingence des lignes coordonnées soit égale à une fonction donnée

F(pp,)ûfp</p,.

L'équation (2) donne

Celle équalion aux différences parlielles a pour iniégrale

rp rpi

el l'on voil que la forme de l'angle 9, qui donne la somme des variations des angles de conlingence égale à zéro, est

9=::C0nSl.+/(p)-i-/(p,).

Ainsi, pour que celle somme des varialions soil nulle, il n'esl pas nécessaire que l'angle 9 soil conslanl, il suffil qu'il soit égal à la somme de deux fonctions ne conienanl chacune que l'un des deux paramètres p ou p,.

196. Généralisation des formules précédentes. — Représentons par ^ une fonction arbitraire de l'angle 9 et par ^' sa dérivée par rapport à l'angle 9; multiplions les formules (i) par ^, el différenlions la première par rapport à p, el la seconde par rapport à p, el ajoutons, nous trouvons les relations suivantes :

[2] d,d,^r= ûf. [<];'( J - I)] .=: do[^' [h - h)]'.

d'une autre part, posons pour abréger 1 I sin9

ll;~kk, "~"X"'

les deux équations (5) donneront les deux relations suivantes :