CHAPITRE II. — DES LIAISONS ENTRE LES TARIATIONS, ETC. S

si l'on combine ces équations avec les relations [2], on obtiendra les formules

auxquelles il faut joindre les deux équations résultantes

i d,[^'{i- l)]-\-d,[^'{h-h)] = ^dod,^, ^^^ I d, [^'(J -f- 1)] H- ^o[+' ( J. -^h)] = ^~ df^.

Par suite de l'indétermination de la fonction ^ de l'angle 9, le nombre des formes auxquelles conduisent les formules précédentes se trouve infini; nous verrons plus tard qu'il en est de même du nombre des théorèmes de Géométrie qui en sont la conséquence.

197. Relations entre les équations des courbures des lignes coordonnées. — Portons dans les équations (3) et (3^) les variations des angles de contingence propre ou inclinée des lignes coordonnées données par les formules (9) et (10) du Chapitre I, nous trouvons

^^ ' dd, \R j "^ dd \rJ ■ sincp \^l "^ R, A./ "^ dada, ~'°'

^^^ dŒ,\L) d(7\u) sinc^yLl'^ UIJ dadG,"""' La première équation peut s'écrire sous la forme d i i\ d ( i\ i/ii acos^N

c?9 /i cos9\ ^9, /i cos9\ d,do(p

sin9û^o'\R R, / si n 90^0-, \Ri R j dad^^'" '

376 LIVRE in. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

et la deuxième s'écrira sous la forme d f i\ d I 1 \ I /i I 2 coscpX d]d„(p

5^ \l) ~^ di \L,i ~ ^ïïT^ \D ''" L] "'" ~Tî;ry «wt; " ^'

Si l'on porte les variations des angles de conlingence propre OU inclinée des lignes coordonnées dans les formules (5), on trouve

ddi \L) da

kJ" sin^\Ll''^ Rilj"' ''' ^^^

198. Formules générales. — Portons dans les équations [2] et [3] du n° 196 les variations des produits tels que 14*', J+' donnés par les formules (ii) du Chapitre I, nous trouvons :

dir,

(f)-iO

sincp \LA L,X,/ d(jd(Ti~ K

qui, malgré leur généralité, n'en affectent pas moins une forme tout à fait simple.

199. Discussion des formules précédentes. — i°Si les deux séries des lignes coordonnées se composent de cercles, les

courbures r-, — sont constantes, et la ^formule (2') donne la

relation suivante :

sincp [Wî '^' K.^j

da-da, 1° Si l'une des deux séries, la série (p, ) se compose de lignes