CHAPITRE II. — DES LIAISONS ENTRE LES VARIATIONS, ETC

droites, on obtient l'équation

d(7 \]{J sin9R, Al ' dtrda-i

3° Si les coordonnées se coupent sous un angle constant, on a la formule

d^^\R)~^di \K) ~ ^ïïï^ \K^ "'' ïï; "'" RR.

4° Si la série (pi) se compose de cercles et la série (p) de lignes droites, on a la relation

RA sincp " c/(Tf/<T,'

laquelle revient à la suivante :

d^dyO I \ [ d,(ù diCû \

sincp -T— 7- " ïH + û - H- -J-- COS9 . ^ dada-i IV R \ da d(Jx )

200. Relations entre les variations des arcs coordonnés. — Portons dans les formules (2) les valeurs de I, Ii tirées des équations (6) du Chapitre I, nous obtenons la formule suivante :

I , \d^d(T — do ( da-t cos 9 )1

\ L ao- sin 9 J ^

que l'on peut écrire sous la forme suivante :

, /cosododff, — d,d(7\ fd, cfq-, — J, ( d(7i COS ? )] __ ^

^ ' '\ Jo-, sin9 J "| dds'inc^ j

1° Si une des deux séries, (p,) par exemple, se compose de lignes droites, on obtient la formule

J rdoda, — dAd(TCOscD)l , ,

do -, — r — — «0 «1 © - o ;

t rfo-sin9 J

or, par suite de l'équalion (6) du Chapitre 1, on a

di dG — do (ddi cos cp ) == G,

et, en ayant égard à cette relation, l'équation précédente devient

dl{d(7i sincp)

dont l'intégrale est

— sin9==p/(p.)-hA,

/étant une fonction arbitraire et A une constante: telle est donc la forme de la fonction qui représente l'arc orthogonal; c'est ce que l'on voit directement (Jig. 73); car, si l'on appelle p la

longueur de l'arc et de l'angle compris entre deux droites infiniment voisines, on a l'expression

or

d(7i sincp =- pt/e;

de=f{p^)dp^.

Donc

2" Si les deux séries de lignes coordonnées sont reclilignes, l'équation (2") se réduit au terme unique

J, ^0 cp = G,

d^^ dd dl d(7i __ d(Tx dd