CHAPITRE II. — DES LIAISONS ExNTRE LES VARIATIONS, ETC

dont l'intégrale est

F et Fi étant deux fonctions arbitraires, la première du paramètre p et la seconde du paramètre p,; telle est donc dans ce cas la forme de l'angle des lignes coordonnées.

3° Si les deux lignes coordonnées se coupent sous angle

P, on trouve la formule connue

201. Formules générales, — Portons dans les formules [3] les valeurs des angles de contingence I, li donnés par les formules (6), nous obtiendrons l'équation

, r ^' d\d(j — d^{d(j, coscp)"!

' Lsincp flfo-, J

H- do -T^ -r-^ ^ =z — J-~ h do c/, d>,

Lsincp d(Ti J k ^

laquelle se rapporte à toutes les formes de la fonction ^,

Dans le cas où les deux séries de lignes coordonnées sont des droites, elle se réduit à l'équation binôme

202. Des quadrilatères curvilignes, — Considérons {/ig. 74) le quadrilatère curviligne déterminé parles lignes pM, pt'^ de la série (p) coupées parles lignes p^,''), p['^ delà série (p,); ce quadrilatère jouit de propriétés géométriques que nous allons démontrer.

Intégrons les deux membres des équations [3] deux fois de suite : une première fois par rapport à p et entre les deux courbes de la série (p) que forment les deux côtés opposés du quadrilatère, et une seconde fois par rapport à p,, entre les

38o LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

deux courbes de la série (p,) qui forment les deux autres côtés opposés; si nous représentons par A, B, C, D les quatre angles

Fig. 74.

du quadrilatère et par dcri, yr-î j- l'arc, la courbure propre ei

la courbure inclinée d'une quelconque des lignes qui limitent le quadrilatère, on aura les deux relations

=. ^(A) - 4;(7r -- B) +- ^.(C) - ^(TT - D) -f-J^^ ^'(9), ^pU] p(0 ^-sin<^ dada,

Jplo] Jp{o) K

^^(A) + ^(Tr-B)~4.(C)-l-4>(7r-D)+JÇ'^'(9),

dans lesquelles le signe / des derniers termes s'étend à tout le contour, et l'indice / doit être posé égal à zéro ou à l'unité, suivant que l'on intègre le long des lignes de la série p, ou de la série p.

Si le quadrilatère est recliligne, les intégrales contenues dans le dernier terme de la première sont nulles, et l'on a

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