CHAPITRE III. — DES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS

paramètres différentiels peut être fait de deux manières : ou bien directement, ou bien par voie de transformation.

Le calcul direct des paramètres H, H,, G est le plus simple; il se fait* géométriquement d'après la connaissance des lignes coordonnées; donnons quelques exemples de ce calcul.

Coordonnées birectilignes, — Soit (Jig, 75) un système de

Fig. 75.

coordonnées birectilignes, les lignes de la première série passant par le point fixe F, et celles de la seconde passant par le point fixe F'. Soient p et p, les angles que les lignes de la première et de la seconde série font avec la droite fixe FF' dans l'intérieur du triangle FAF'; p et p, sont les coordonnées du système; soient la la distance FF' et r, r, les rayons vecteurs AF, AF,. Cela posé, si l'on considère les deux triangles infinitésimaux DAF, BAF', on a, en appelant AD, da et AB, ddi les deux relations

d(7=^ rdp sin(p -+- p,), ^o-, = r, c?p, sin(p 4- p, ); or le triangle AFF donne

sinp, ~ sinp sin(p -i- p,)'

on a donc

H— 2«sinp,, H,=:2«sinp, G^-- — 4«^ sinp sinp, cos(p-f-p,).

206. Coordonnées hicircidaires. — Soient [fig- 76) deux séries de cercles concentriques : la première ayant F pour centre et r pour rayon; la seconde F, pour centre et r, pour

rayon; ici les paramètres qui fixent la position du point sont

Fig. 76.

r et r,; conservons les mêmes notations que précédemment,

on a

d(Ti =3 rdçiy dd -- r, Jp, ;

on a, de plus,

, i ndr, , I rdr

dp --= ; — , api = :

' 2 «rsinp ^ 2 ari smp.

Si, pour abréger, on pose

M^ -- sj{r -\~ r, -f- 2«)(r-i- r, — 2rt)(r — r, -h 7.a){i\-- r ~\- 2a), on obtient

, î rr^dr , i rri dn ^a} ~ r^ ~ r]

d(T—- ^rr— 5 «(7, = rr— > COS 9 ~~ •

2 M' 2 M' ^ 2rr,

207. Coordonnées rectiligne et circulaire, — Considérons (fig, 77) le système composé de cercles concentriques et de

Fig. 77.

droites passant par un même point. Soit F le centre commun