CHAPITRE III. — DES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS
des cercles de rayon r, el F, le point de concours des droites formant un angle p avec le prolongement de FF,; r et p sont les coordonnées.
Conservons la même notation que ci-dessus, el soit Al Tare infiniment petit décrit entre deux positions de r,, on a
donc
AB
sincp
dr
cos(
avec les relations
sinp,
~ sinp
On en
déduit
sincp'
cos(p. -p)
la
sin(p. -p)
sin 9 = - v^r^ — 4 «* sin*p,,
, / 2«rcospi \ , , rdr
ddi -zl r -^ ) ap,, rf(7 " - .
\ V'''^— 4«' sin^p, / V''^— 4«'sin2p,
Coordonnées polaires, — Comme vérification de ces dernières formules, cherchons les paramètres différentiels du système de coordonnées polaires; il faut, dans ce cas, supposer que les points F et F, coïncident, ce qui revient à poser a nul ; on obtient alors
Û?(Ti =: rdpiy d(7 =z dry cos cp =: o.
208. Calcul par transformation, — Soient [fig* 74) les deux courbes coordonnées données par les deux équations dans le système cartésien
p et pi étant les paramètres dont les variations produisent les deux séries de lignes coordonnées. Si Ton résout ces deux
équations par rapport à ^ et à/, on aura les deux relations
(3) a7 = F(p, p,)> r=Fi(P>Pi).
Le paramètre pi ne variant pas le long de la courbe p,, et le paramètre p le long de la courbe pi, on aura les expressions des arcs coordonnés
^^^ 5p^-V^"-^j-"*'- ^y-^pf-^^-**''
(Ig ddi dx dxi ^ dy dfi ^^
^ dp dpi dp dpi dp dpi
On connaîtra donc les paramètres H, H,, G en fonctions des coordonnées p et p,/ ce qui est la solution complète de la question.
Elle peut aussi être résolue de la manière suivante. Posons
(K\ ^9'-u^-h^ f^j^-/,^ dpdp^ dpdp,^ ^^^ dx^ dy-^- ' dx^'^ dy^-''' dxdx~^ dydy"^'
é équations qui se rapportent aux deux courbes représentées par les équations (2); il en résulte que
(6) cos9 = £-, si^<f^^yh'h',-g'.
Soit èp le déplacement du point A dans une direction quelconque, àx, èy étant les projections de ce déplacement sur les deux axes des x et des y; si nous prenons la variation de la première des équations (2), on a
Donc, en divisant les deux membres par hàs, le second membre devient égal au cosinus de l'angle du déplacement as avec la normale /i à la courbe p; on a donc la formule
es I
èp h cos{ n, ds)
