CHAPITRE III. — DES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS

Si le déplacement as est compté dans le sens de la courbe û?(7„ on aura, après avoir opéré de la même manière sur la courbe/, les deux équations

dp Asincp dpi /i, sincp

Si l'on compare les équations (i) aux équations (i'), on en déduira les relations

^ ' sincp •

et, conséquemment.

on pourra donc calculer les paramètres H, H,, G au moyen des auxiliaires A, A,, g", et réciproquement.

Appliquons ces formules à quelques exemples; mais, avant, remarquons que, l'équation d'une courbe exprimant par voie d'égalité une relation entre un point quelconque de la courbe et une ou plusieurs grandeurs géométriques, cette courbe partage le plan qui la contient en deux régions telles, que la relation ne peut être satisfaite par un point quelconque de l'une de ces régions, par excès pour l'une et par défaut pour l'autre. Cest la première de ces régions qui est appelée région extérieure à la courbe, et la seconde région intérieure. Or nous convenons de compter les normales à une courbe à partir de ce point vers la région extérieure. Cela posé, représentons par n une normale infiniment petite à la courbe coordonnée

Si l'on remarque que les coordonnées de l'extrémité de celte normale extérieure à la courbe sont

^ H- n cos(w, ^), j+ /icos(w, /),

le résultat de la substitution de ces coordonnées dans l'équation précédente sera positif; or, en négligeant l'infiniment

petit d'ordre supérieur, ce résultat est

"^ l'A ^^st'*' -^^ ■+- 5^ ^^sf'*' r)]î

donc, en y remplaçant les cosinus par leurs valeurs j-— - > -—- >

on obtiendra le produit nh essentiellement positif, ce qui exige que l'on affecte du signe + le radical h.

Donc, suivant qu'il s'agit de la normale extérieure ou intérieure, il faut prendre h avec le signe -i- ou le signe — .

209. Coordonnées elliptiques liomofocales. — Dans ce système de coordonnées, on prend, pour déterminer un point quelconque du plan, une série d'ellipses et une série d'hyperboles, homofocales, dont les équations sont

et dans lesquelles il faut poser on en déduit les relations

(3') c^ = pp,, cy = sjp' — C y^c' — pî ;

4 sjp'—c'' dp, v/pî — c''

et, de plus, on trouve que la valeur de coscp est nulle, ce qui revient à dire que le système est orthogonal.

210. Coordonnées elliptiques homocycliques. — Prenons pour système de coordonnées une série d'ellipses doublement tangentes à deux cercles égaux de rayon /, et une série d'hyperboles doublement tangentes aux mêmes cercles; on aura les deux équalious, e étant la demi-distance des centres des