XXX INTRODUCTION

angle, sur la courbe et dans son plan, les deux côtés viennent à varier de direction, il est évident que la variation de l'angle sera égale à la somme des déviations de chacun des côtés par rapporta la direction primitive. Nous appelons courbures inclinées de la courbe, par rapport à chacun des deux côtés, le quotient de chaque déviation par le déplacement du sommet; les directions de ces deux courbures sont données par les arcs de cercle infiniment petits qui mesurent ces déviations, de sorte que le principe en question s'énonce ainsi : le quotient de la variation de l'angle par le déplacement du sommet est égale à la somme des courbures inclinées de la courbe décrite par le sommet, par rapport à chaque côté de l'angle.

Il résulte de là que, lorsque l'un des côtés reste tangent à la courbe, l'une des deux courbures inclinées devient la courbure propre de la courbe, et que si les deux côtés restent tangents, l'un à la même courbe et l'autre à une série de courbes de même famille coupant la première, comme cela se présente dans tout système de coordonnées curvilignes, la première est la courbure propre de la courbe, et la seconde est la courbure inclinée par rapport aux tangentes des courbes de l'autre série.

Ce principe, qui est d'une grande simplicité, est une source inépuisable de conséquences utiles. Cela n'a rien de surprenant; les principes les plus féconds sont aussi les plus simples. Ce qu'il y a de difficile, c'est moins de les trouver que de les reconnaître, c'est moins d'en donner la formule que d'en démontrer la richesse; établir leur liaison avec les propositions géométriques les plus nombreuses, les plus variées, n'est-ce pas ce qui constitue l'invention proprement dite? Qu'importe de découvrir un diamant, si on le confond avec une pierre ordinaire I

XV. Ce que nous venons de dire suffit pour justifier l'unité de doctrine de l'Analyse des courbes tracées sur une surface et de l'Analyse des courbes planes. Quant à son efficacité, elle apparaît dans l'un et l'autre cas, avec le même degré d'évidence; si la première Analyse aborde des problèmes d'une