INTRODUCTION. XXXI

plus grande difficulté, par suite de la combinaison des éléments de la courbe avec ceux de la surface, la seconde a l'avantage de pousser jusqu'à des limites plus reculées la solution de questions relativement plus simples.

En ce qui concerne les différences de ces deux Analyses, elles consistent, comme nous l'avons déjà indiqué, dans le mode d'exposition et la marche de la démonstration. Dans le premier cas, le mode d'exposition et la marche de la démonstration sont purement analytiques, et sont fondés sur une déduction aisée et rigoureuse; c'est le développement d'une série de conséquences d'un seul et même principe. Dans le second cas, ce mode, cette marche, sont synthétiques; on s'élève successivement du simple au composé, et l'on atteint les cas les plus complexes de la Géométrie des courbes planes; on atteindrait même, sans grandes difficultés, les principes relatifs à la Géométrie des courbes tracées sur une surface. L'application que nous avons faite de ces deux méthodes, inverses l'une de l'autre, ne sera donc pas sans utilité pour le lecteur.

XVI. Notre nouvel Ouvrage est divisé en trois Livres : le premier relatif aux questions qui peuvent être traitées par les systèmes simples de coordonnées curvilignes, le second relatif aux questions qui dépendent de systèmes de coordonnées composées, le troisième enfin ayant trait au système le plus général de coordonnées curvilignes.

Quels sont les systèmes simples qui se présentent les premiers dans l'étude des courbes? C'est, en premier lieu, le système de coordonnées naturelles dont nous avons déjà parlé. C'est, secondement, le système tangentiel très^voisin du précédent, et qui consiste à regarder la courbe que l'on étudie comme l'enveloppe d'une droite coupant une courbe donnée sous un angle dont la loi est aussi donnée. Les coordonnées sont donc : l'une curviligne, et l'autre angulaire. La première est la longueur d'un arc de courbe donnée, compté à partir d'un point fixe pris sur cette courbe jusqu'au point où elle est coupée par la droite mobile; la seconde est l'angle que cette droite fait avec la tangente en ce point à la courbe donnée.