CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

230. De Véquation de la tangente à une conique dans le système elliptique,— Ces coordonnées (n°201) satisfont aux deux conditions dont nous venons de parler; donc l'équation de la ligne droite dans ce système sera

(4) p^cos\3-hpîsin2|3=rp^

Celte forme d'équation est due à M. Liouville. Si l'on y fait (3 = G, on trouve p = Pû; donc po est la valeur du demi-grand axe de la conique à laquelle cette droite est tangente, tandis que p et p, sont les demi-grands axes des coniques qui déterminent le point de la droite où elle forme avec les coniques

correspondantes les angles (5 et (3. Si po^c, po représente

une ellipse; si po = c, elle représente la distance focale; si Po-<^) elle représente une hyperbole.

Conséquences de cette équation. — Le nombre des propriétés des coniques qu'on peut déduire de celte équation est considérable; proposons un exemple pour faire connaître l'usage que l'on peut faire de cette équation. Soit

(4'} p^cos^p.-f-pîsin^p.^rpfo)

la tangente à la conique p(o) du système; si les angles (3 et (3, sont tels que leur différence égale un angle droit ef qu'on fasse la somme des deux équations (4), (4')> ^^ ^^^^

qui est l'équation d'un cercle.

Le lieu des sommets d'un angle droit dont les côtés sont tangents à deux coniques homofocales est un cercle.

Si la différence des angles (3, et (3 est U, on aura

tangU=. WnsP.-tangP

V p,'.,-p;-Vp:-pî

n- lang=|3, lang(3, ^ /p' - p; p'-p(',)

pour représenter l'équation du lieu du sommet d'un angle C

4l2 LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DES COORDONNÉES, ETC.

dont les côtés restent tangents à deux coniques homofocales. Si les deux coniques po et p(o) se confondent en une seule, on obtient l'équation

langU = ^v/(p^-po)(p;-Po) .

(Po-P^)- (P^-PÎ)

231. De l'équation de la tangente à une conique dans le système hicirculaire. — Si les centres des cercles (n°206) de l'une et l'autre série sont les foyers de la double série de coniques, en appelant 9 l'angle des deux rayons vecteurs r, r,,

(5) r+r, — 2p, r— r, — 2p,; d'après cela, Téqualion (4) devient

(6) r^^ rj — 2/T, cosô :--4p5-

Celte équation établit, entre les distances r, r, d'un point aux deux foyers communs, l'angle des tangentes menées de ce point à la conique dont l'axe estapo, et l'axe de cette conique la même relation qui existe entre un angle et les trois côtés d'un triangle.

Or, si l'on représente par p„ la demi-distance focale d'une conique dont le grand axe serait quelconque et dont les rayons vecteurs seraient t et r', on aura l'équation

(7) T'-f-T'—2TT'C0S(T, t')=^4p;.

Donc, si l'on choisit t et t' respectivement égaux à r et r', l'angle (t, t') sera égal à l'angle 9. De là on tire les théorèmes suivants :

1° Si deux coniques C et C sont telles que la distance focale de la première soit égale au grand axe de la seconde , et que deux points pris l'un sur la première et l'autre dans le plan de la seconde, de telle sorte que les distances r et z du premier point aux foyers de la conique C soient respectivement égaux aux distances r et r, du second aux foy^ers de la conique C'y si du second point on mène des tangentes à cette