XXXII INTRODUCTION

Le troisième système de coordonnées est inverse du précédent; il consiste à regarder une courbe comme décrite par un point d'une droite qui enveloppe une courbe donnée, la dislance du point au point de contact variant d'après une loi donnée. Dans ce système, les coordonnées sont, d'une part, l'arc compté sur la courbe donnée entre un point fixe et le point de contact, d'une autre part, la portion de tangente comprise entre ce dernier point et le point décrivant; la première coordonnée peut être remplacée par la déviation de la droite mobile, à partir d'une position initiale.

Nous avons déjà indiqué les nombreux avantages du premier système de coordonnées ; chacun de ces deux derniers systèmes offre les avantages suivants : le premier est que le passage de l'un de ces systèmes au système naturel est facile ; le second est que, en faisant usage du principe des courbures inclinées, on exprime facilement tous les éléments de la courbe que l'on étudie, tels que : normale, rayon de courbure, longueur de l'arc, aire balayée par toute droite liée avec un point de la courbe; le troisième, enfin, est que ces deux systèmes peuvent être généralisés et deviennent applicables aux courbes tracées sur une surface quelconque.

XVIl. Dans le second Livre, nous étudions les courbes d'après des systèmes de coordonnées complexes. Ils sont de deux sortes, suivant qu'ils se rapportent à l'un ou à l'autre des deux derniers systèmes de coordonnées simples du Livre précédent.

En effet, ou bien on se donne une courbe directrice et n courbes rapportées, chacun a la courbe directrice d'après le premier système tangentiel, et il s'agit de trouver les lois d'après lesquelles ces n courbes sont conjuguées entre elles, lois qui régissent leurs tangentes, leurs rayons de courbure, leurs arcs ou leurs aires; ou bien, réciproquement, on se donne la courbe enveloppe d'une droite et les n courbes décrites par n points de cette droite, et il s'agit de déterminer les lois d'après lesquelles ces n courbes sont conjuguées entre elles, lois relatives à leurs rayons vecteurs, leurs tangentes, leurs rayons de courbure, aux arcs et aux aires qui se corres-